確定一個正態分佈只需要兩個數字，一個是平均值，另外一個是標準差。標準差代表一個正態分佈相對於平均值有多分散，也就是每個人離平均值有多遠。如果測量軍隊儀仗隊每個士兵的身高並和平均值比較，標準差就會很低；但是如果去測量街上隨便找來的一群人的身高，和平均值比較，標準差就會相對較高。對一個正態分佈來說，大約2/3的抽樣結果都應該在離平均值一個標準差以內的地方。標準差在金融投資行業中經常被稱做波動性，一般是由一個百分比來表示的。比方，有人會說：「最近市場風險加大，標準普爾500的波動性從平常的15%上升到了30%左右。」30%的波動性意思是：「如果你認為美國股票的未來變化是正態分佈的話——通常大家都這樣假定，所以這個假設就不單獨提出來了——那麼一年以後有2/3的可能性標準普爾500的水平會在目前水平上下30%的範圍之內（其實嚴格地說不是在目前水平，因為要考慮到一年之內標準普爾指數成份股的紅利率和一年的政府債券利率，但是我們在這裡忽略這個細節。）」。不僅如此，你還可以推算出，一年以後標準普爾升降超過50%的可能性是10%，它猛漲100%的可能性是0.04%，等等。
細心的讀者可能會發現，這些數字看上去跟兩位長期資本管理的教授給投資者的信中的話有些類似。其實這不需要高深的數學，一個中學生用製表軟件上附加的正態分佈公式幾分鐘就能算出來。兩位教授之所以能給長期資本管理將來的虧損大小和概率給出貌似精確的預測，也正是基於這樣的假設：價格的變化是正態分佈，盈虧也是正態分佈的；同時，過去的波動性和將來的波動性一樣。在金融投資中，一般大家都把波動性和風險等同看待，殊不知這裡面包含著一個非常美好誘人但也是非常危險的假設：價格變化是正態分佈的。
在正態分佈的假定下，布萊克－舒爾斯－默頓的公式將期權的價格和金融產品價格的波動性直接掛鉤：如果你知道未來波動性是多少，那麼你就能知道期權的價格，反之，如果你知道期權的價格，你就知道未來的波動性是多少。因為期權的價格是由市場買賣形成的，所以期權的價格其實成了整個市場對未來價格波動性的預測。正是這個原因，他們的公式和理論常常被認為是對風險進行標價的公式和理論。
通常人的身高呈正態分佈
鍾形曲線畫的是碰到各種不同身高的人的可能性：常常能碰到平均身高附近的人，但是很高個子和很矮個子的人就不太容易碰到。標準差用來代表一群人的身高差別有多大。
如果人的身高呈肥尾分佈
肥尾曲線畫的是碰到各種不同身高的人的可能性：碰到很高個子和很矮個子的人的可能性都要比正態曲線大很多。標準差不能很好代表一群人的身高差別有多大。許多金融價格都呈肥尾分佈，而不是呈正態分佈的。
黑天鵝飛來了
將公式應用到實際投資裡面，兩位教授和其他長期資本管理的量化專家們認為：價格的變化長期來看是正態分佈的，價格的波動性應該有一個長期的穩定平均值，取決於各種新信息到來的速度和市場對這些信息的反應。有時候因為突發事件市場會亂了方寸，波動性大增，像我們前面說過的過激反應，這時候就有了統計套利的機會——因為市場遲早是有效的，那些過激反應的「傻瓜」（有一次舒爾斯和美林銀行幾個銷售人員共同去一個投資公司，舒爾斯興致勃勃地講述他們的套利策略，美林的一個年輕銷售人員突然插嘴說美國政府債券市場不可能有這樣的機會，舒爾斯很掃興，他很生氣地指著這個人說：「你就是我們的機會！正是因為市場上都是你這樣的傻瓜我們才能賺錢！」。這令客戶大為吃驚。）早晚會意識到自己的錯誤，波動性會降下來，降到長期平均水平，所以在教授看來，市場波動性過高的時候就應該通過出售期權來做空波動性，等待波動性的回落。「做空波動性」可能聽上去有些彆扭，波動性又不是一種金融工具，怎樣做空呢？我們前面說過，在一定的條件下，期權的價格和波動性價格一一對應，所以做空期權就相當於做空波動性。後來這個市場進一步發展，有很多直接交易波動性的金融工具，比如波動性的期貨、掉期合同等。有時候金融專家可能說：「波動性也是一種資產」，就是這個概念，因為波動性可以買賣。
對於長期資本管理的教授來說，市場上的這些「傻瓜」在不久的將來會忘掉上一次的錯誤，再次過激，再次給聰明人提供機會。
1998年年初，亞洲金融危機仍然在持續，一些股票期權的價格上漲，根據教授的公式可以算出市場預測未來的波動性將會是20%以上，長期資本管理認為這屬於過激反應，於是開始出售波動性。直接出售波動性的另類金融合同現在很常見，當年並不太常見。長期資本管理就出售各種期權，包括標準普爾500的期權合同和歐洲各家股市的股指期權合同。但是，在他們做空期權之後，期權合同的價格不僅不跌，反而繼續上漲。也就是說，市場預測未來的波動性將繼續保持高位，甚至更高。這時候，長期資本管理的量化模型和決策人都認為這是更好的機會，所以他們接著賣各類期權。有一家銀行當年曾經把長期資本管理戲稱為「波動性的中央銀行」，意思是說，別人都不賣都想買波動性的時候，只有長期資本管理還在不停地通過出售各類期權合同賣波動性。我們說過，期權實際上和保險很相似，長期資本管理實際上出售的是股市大漲或者大跌的保險合同——如果股市大漲或者大跌的話，長期資本管理就有可能被別人索賠。如果市場安靜下來，長期資本管理就坐收期權金。另外，和保險合同一樣，長期資本管理的收益是有限的，最多就是所收到的期權金，但是潛在的損失是無限的，因為股市的變化可能非常大。正是因為這個原因，大家都願意購買期權而不願意出售期權，願意購買保險而不願意為別人提供保險。
各國期貨交易所裡面都有各種期權在交易，但是這類期權合同的期限一般不超過一年，而且流動性有限，如果長期資本管理要出售大筆或者長期的期權合同就只能在櫃面市場上完成。櫃面市場也叫場外交易，意思是一對一的雙方交易形式，而不是股票交易所中多對多的交易形式，這種市場的流動性有時候可能要比股票交易所好一些，而且你可以買賣各種量體裁衣的產品，不像交易所裡面只有標準化的產品。但是櫃面市場的透明性要比交易所差（巴菲特2008年也出售了很多股票指數的賣出期權，期限在15年。他認為布萊克——舒爾斯公式有誤，這類期權的價格高過合理價格。但是跟長期資本管理不同，巴菲特只是出售股市下跌的保險，所以他的交易有很大的方向性，他的觀點是股市長期來看是上升的。），而且它的流動性的變化可能很快，好的時候很好，不好的時候很糟。投資人在櫃面市場交易時的交易對手一般是銀行，所以長期資本管理就給各家銀行出售各類期權。在它賣了期權之後，股市的波動性不僅不下跌，反而進一步上漲，所以長期資本管理的做空交易開始賠錢，對手銀行要求長期資本管理不斷增加現金抵押，長期資本管理要四處尋找現金來支付這些抵押，由於它的槓桿非常高，所以這部分現金抵押的要求數額也是非常大的。這是長期資本管理倒台的一個原因，雖說從長期來看教授們的觀點也許正確，但是誰能挨過短期的資金短缺之痛呢？凱恩斯的那句話我們前面已經提過了：「市場的不理性的時間可能要比你保持不破產的時間長。」凱恩斯還說過：「長期？長期我們大家都死了。」
教授們的問題主要是出在正態分佈的假設上面。
金融價格從來都不是正態分佈，金融價格的分佈有著典型的「肥尾」現象：按照正態分佈來看幾乎不可能的、遠遠離開平均值的價格變化所出現的概率要比理論值大出很多倍！也就是說，我們前面說的正態分佈的鍾形曲線的兩個尾巴都要「肥」出很多。如果人的身高的分佈跟金融價格的分佈類似的話，你走在路上有可能常常遇到姚明或者比姚明高許多的人。最近幾年人們提到的「黑天鵝理論」說的是同樣的現象，意思是雖說大部分的天鵝是白色的，但是你遇到黑天鵝的概率要比你預測的高很多，或者你可能根本就不會知道會有黑色的天鵝，黑天鵝一旦出現，後果有可能是超乎想像的嚴重。黑天鵝的提法是一個很出名的交易員塔勒布在《黑天鵝》一書中提出的，書中所提到的很多現象其實都是金融裡面的肥尾，但是不僅僅局限於金融：第一次世界大戰、互聯網的出現、「9·11」事件、個人電腦的出現等都是塔勒布說成的黑天鵝現象。一個常常被人提到的黑天鵝的例子是「黑色星期一」，1987年10月19日，全球股市大崩盤，道瓊斯美國股票指數一日之內狂瀉23%，有人計算，按照正態分佈和過去若干年的平均波動性，如果美國股市從宇宙存在的那一天開始天天開門交易，這樣的跌法出現的概率仍然是微不足道的。如果我們的宇宙能夠重複存在10億次的話，這樣跌法的可能性不再是微不足道，但是仍然可以忽略不計。不過，「黑色星期一」這種在布萊克－舒爾斯－默頓理論所做的假設下完全不可能發生的奇跡，還是發生了，而且相當經常地發生，其他各種金融價格大幅變動的現象雖然沒有「黑色星期一」那種一瀉千里的氣勢，但是按照正態分佈的假設，這些現象也同樣屬於不太可能出現的範疇。
當理論和實際有矛盾的時候，通常是實際獲勝。我們回過頭來去看布萊克－舒爾斯－默頓理論所需要的假設，我們知道：金融價格不是正態的，它常常有肥尾；金融價格的變化也不連續，常常大幅跳動；金融價格的波動性在中、短期不一定會馬上回到長期的平均值；金融價格在變化的時候上一步和下一步也不一定毫無關係：如果毫無關係，價格變化就是隨機漫步，反之，市場價格有趨勢的時候就說明上一步和下一步有關係。為什麼金融價格不是正態分佈的？原因很複雜，其中重要的一點是影響金融價格的各種因素（包括各種交易人和投資人在內）在平常也許是各不相關的，所以價格變動好像是正態，但是在市場大幅波動的時候，人們驚慌失措，紛紛跟隨別人行動，因此本來不相關的因素常常變得步調一致，正是我們平常所說的「牆倒眾人推」。
布朗運動是因為水裡的分子隨機撞擊花粉而產生的，但是水分子不會在大勢不好的時候步調一致地往大門口沖。可是我們知道投資者會。
所以用正態分佈和布朗運動來描述價格變化是有缺陷的。這種缺陷是量化投資行業所面對的最可怕的敵人之一。
澡盆大的游泳池
長期資本管理的另外一個投資策略是利率掉期套利。
利率掉期合同是交易量巨大的一種櫃面交易產品，屬於金融衍生工具的一種，有很多種變化組合，最簡單的一種是固定利率調浮動利率的掉期。這種掉期合同設有一個面額，合同的甲方定期按照某個浮動的利率（比如LIBOR）支付給乙方利息，乙方則按照合同簽訂的時候雙方同意的固定利率（這叫掉期利率）定期支付給甲方利息，所以我們大致估計，固定利率大概就是將來一段時間浮動利率的平均值。但是將來的浮動利率事先無法知道，所以固定利率是市場對它做出的預測。最先使用掉期合同的是發行了債券的大公司，這些公司發行的債券一般是固定利率的，因為債券傳統上是支付固定利息的。但是，公司的未來盈利卻是變化的，通常經濟好的時候公司的利潤高，但是通常經濟好的時候社會利率水平也比較高，所以公司更願意支付浮動利率。於是，利率掉期這種產品被銀行開發、包裝、銷售和交易，專門為了幫助公司來管理風險。你也可以設想，你的房屋按揭貸款如果目前是浮動利率的話，你可以通過這種利率掉期合同把它變成固定利率，這樣你就知道將來每個月的月供是多少。掉期雖說是銀行為了公司發明的，但是現在除了公司之外，使用這種產品更多的是各類投資人和銀行，銀行之間的交易佔了掉期交易相當大的份額。利率掉期合同的期限一般比較長，可以是10年、20年或者更長，通常交易面額也比較大，所以個人想要交易這種產品並不容易。利率掉期合同通常是銀行按照顧客的要求量體裁衣的產品，每個利率掉期合同可以看成是許多其他的比較簡單的產品的打包。銀行在交易了各種利率掉期合同之後就需要通過使用各種量化模型，把一個個包裝好的利率掉期合同拆開，分成各種簡單產品，然後再分門別類地管理。除了利率掉期合同之外，掉期期權合同也很流行，掉期期權可以理解成掉期合同外加防止賠錢的保險合同，這類產品的標價、交易、分拆、管理自然離不了布萊克－舒爾斯－默頓的量化方法。跟債券一樣，掉期也是個數學性、邏輯性很強的產品，換句話說，量化方法在這裡如魚得水。
掉期合同的固定利率和同樣期限的政府債券利率相比一般要稍微高一些，這叫掉期利差。長期資本管理的獅子般的眼睛盯上了這個利差。這個利差反映的是互相交易掉期合同的大銀行的信用級別和政府信用級別的差別：政府的信用通常要比大銀行的信用稍微高一些，但也高不了多少，所以掉期利差通常都比較小，不過是二三十個基點（一個基點是百分之一個百分點，0.01%。）。可是有時候市場比較緊張，這時候掉期利差就會高一些，這又是一種過激反應，長期資本管理就等著市場上的傻子們犯傻呢：掉期利差高的時候長期資本管理就會殺入市場，購買收入固定利率同時支付浮動利率的掉期合同。利差高，就意味著掉期合同的固定利率相對較高。等到利差回落，長期資本管理再把合同賣出去，坐收利潤（其實真正的套利操作要稍微複雜一些，因為在第一步購買收入固定利率同時支付浮動利率的合同之後，投資頭寸的盈虧將會受到未來利率水平的影響：如果未來利率升高，浮動利率跟著增加，但是固定利率不變，你會賠錢，所以在第一步同時還要對沖掉利率水平的風險，不過這並不難。）。值得一提的是長期資本管理並不是把原來的合同賣出去，而是重新簽訂一份新的合同，新的合同是支付固定利率同時收入浮動利率的掉期合同，其他的條件和舊的合同完全一樣。舊的合同是收固定、付浮動，新的合同是付固定、收浮動，這樣浮動利率的部分互相抵消，固定利率的支付差額就是長期資本管理的利潤。這種簽訂新合同而不是出售舊合同的做法在投資行業很普遍，為什麼要這樣做我們留到下一章再說。本來一筆買賣，一進一出，買賣結束，但是長期資本管理要和兩家銀行同時保留合同，正是因為這個原因，長期資本管理的衍生工具越來越多，1995年，面額為6500億美元，到了1997年，面額達到12500億美元，這是一個天文數字。
細心的讀者可能會發現，這些數字看上去跟兩位長期資本管理的教授給投資者的信中的話有些類似。其實這不需要高深的數學，一個中學生用製表軟件上附加的正態分佈公式幾分鐘就能算出來。兩位教授之所以能給長期資本管理將來的虧損大小和概率給出貌似精確的預測，也正是基於這樣的假設：價格的變化是正態分佈，盈虧也是正態分佈的；同時，過去的波動性和將來的波動性一樣。在金融投資中，一般大家都把波動性和風險等同看待，殊不知這裡面包含著一個非常美好誘人但也是非常危險的假設：價格變化是正態分佈的。
在正態分佈的假定下，布萊克－舒爾斯－默頓的公式將期權的價格和金融產品價格的波動性直接掛鉤：如果你知道未來波動性是多少，那麼你就能知道期權的價格，反之，如果你知道期權的價格，你就知道未來的波動性是多少。因為期權的價格是由市場買賣形成的，所以期權的價格其實成了整個市場對未來價格波動性的預測。正是這個原因，他們的公式和理論常常被認為是對風險進行標價的公式和理論。
通常人的身高呈正態分佈
鍾形曲線畫的是碰到各種不同身高的人的可能性：常常能碰到平均身高附近的人，但是很高個子和很矮個子的人就不太容易碰到。標準差用來代表一群人的身高差別有多大。
如果人的身高呈肥尾分佈
肥尾曲線畫的是碰到各種不同身高的人的可能性：碰到很高個子和很矮個子的人的可能性都要比正態曲線大很多。標準差不能很好代表一群人的身高差別有多大。許多金融價格都呈肥尾分佈，而不是呈正態分佈的。
黑天鵝飛來了
將公式應用到實際投資裡面，兩位教授和其他長期資本管理的量化專家們認為：價格的變化長期來看是正態分佈的，價格的波動性應該有一個長期的穩定平均值，取決於各種新信息到來的速度和市場對這些信息的反應。有時候因為突發事件市場會亂了方寸，波動性大增，像我們前面說過的過激反應，這時候就有了統計套利的機會——因為市場遲早是有效的，那些過激反應的「傻瓜」（有一次舒爾斯和美林銀行幾個銷售人員共同去一個投資公司，舒爾斯興致勃勃地講述他們的套利策略，美林的一個年輕銷售人員突然插嘴說美國政府債券市場不可能有這樣的機會，舒爾斯很掃興，他很生氣地指著這個人說：「你就是我們的機會！正是因為市場上都是你這樣的傻瓜我們才能賺錢！」。這令客戶大為吃驚。）早晚會意識到自己的錯誤，波動性會降下來，降到長期平均水平，所以在教授看來，市場波動性過高的時候就應該通過出售期權來做空波動性，等待波動性的回落。「做空波動性」可能聽上去有些彆扭，波動性又不是一種金融工具，怎樣做空呢？我們前面說過，在一定的條件下，期權的價格和波動性價格一一對應，所以做空期權就相當於做空波動性。後來這個市場進一步發展，有很多直接交易波動性的金融工具，比如波動性的期貨、掉期合同等。有時候金融專家可能說：「波動性也是一種資產」，就是這個概念，因為波動性可以買賣。
對於長期資本管理的教授來說，市場上的這些「傻瓜」在不久的將來會忘掉上一次的錯誤，再次過激，再次給聰明人提供機會。
1998年年初，亞洲金融危機仍然在持續，一些股票期權的價格上漲，根據教授的公式可以算出市場預測未來的波動性將會是20%以上，長期資本管理認為這屬於過激反應，於是開始出售波動性。直接出售波動性的另類金融合同現在很常見，當年並不太常見。長期資本管理就出售各種期權，包括標準普爾500的期權合同和歐洲各家股市的股指期權合同。但是，在他們做空期權之後，期權合同的價格不僅不跌，反而繼續上漲。也就是說，市場預測未來的波動性將繼續保持高位，甚至更高。這時候，長期資本管理的量化模型和決策人都認為這是更好的機會，所以他們接著賣各類期權。有一家銀行當年曾經把長期資本管理戲稱為「波動性的中央銀行」，意思是說，別人都不賣都想買波動性的時候，只有長期資本管理還在不停地通過出售各類期權合同賣波動性。我們說過，期權實際上和保險很相似，長期資本管理實際上出售的是股市大漲或者大跌的保險合同——如果股市大漲或者大跌的話，長期資本管理就有可能被別人索賠。如果市場安靜下來，長期資本管理就坐收期權金。另外，和保險合同一樣，長期資本管理的收益是有限的，最多就是所收到的期權金，但是潛在的損失是無限的，因為股市的變化可能非常大。正是因為這個原因，大家都願意購買期權而不願意出售期權，願意購買保險而不願意為別人提供保險。
各國期貨交易所裡面都有各種期權在交易，但是這類期權合同的期限一般不超過一年，而且流動性有限，如果長期資本管理要出售大筆或者長期的期權合同就只能在櫃面市場上完成。櫃面市場也叫場外交易，意思是一對一的雙方交易形式，而不是股票交易所中多對多的交易形式，這種市場的流動性有時候可能要比股票交易所好一些，而且你可以買賣各種量體裁衣的產品，不像交易所裡面只有標準化的產品。但是櫃面市場的透明性要比交易所差（巴菲特2008年也出售了很多股票指數的賣出期權，期限在15年。他認為布萊克——舒爾斯公式有誤，這類期權的價格高過合理價格。但是跟長期資本管理不同，巴菲特只是出售股市下跌的保險，所以他的交易有很大的方向性，他的觀點是股市長期來看是上升的。），而且它的流動性的變化可能很快，好的時候很好，不好的時候很糟。投資人在櫃面市場交易時的交易對手一般是銀行，所以長期資本管理就給各家銀行出售各類期權。在它賣了期權之後，股市的波動性不僅不下跌，反而進一步上漲，所以長期資本管理的做空交易開始賠錢，對手銀行要求長期資本管理不斷增加現金抵押，長期資本管理要四處尋找現金來支付這些抵押，由於它的槓桿非常高，所以這部分現金抵押的要求數額也是非常大的。這是長期資本管理倒台的一個原因，雖說從長期來看教授們的觀點也許正確，但是誰能挨過短期的資金短缺之痛呢？凱恩斯的那句話我們前面已經提過了：「市場的不理性的時間可能要比你保持不破產的時間長。」凱恩斯還說過：「長期？長期我們大家都死了。」
教授們的問題主要是出在正態分佈的假設上面。
金融價格從來都不是正態分佈，金融價格的分佈有著典型的「肥尾」現象：按照正態分佈來看幾乎不可能的、遠遠離開平均值的價格變化所出現的概率要比理論值大出很多倍！也就是說，我們前面說的正態分佈的鍾形曲線的兩個尾巴都要「肥」出很多。如果人的身高的分佈跟金融價格的分佈類似的話，你走在路上有可能常常遇到姚明或者比姚明高許多的人。最近幾年人們提到的「黑天鵝理論」說的是同樣的現象，意思是雖說大部分的天鵝是白色的，但是你遇到黑天鵝的概率要比你預測的高很多，或者你可能根本就不會知道會有黑色的天鵝，黑天鵝一旦出現，後果有可能是超乎想像的嚴重。黑天鵝的提法是一個很出名的交易員塔勒布在《黑天鵝》一書中提出的，書中所提到的很多現象其實都是金融裡面的肥尾，但是不僅僅局限於金融：第一次世界大戰、互聯網的出現、「9·11」事件、個人電腦的出現等都是塔勒布說成的黑天鵝現象。一個常常被人提到的黑天鵝的例子是「黑色星期一」，1987年10月19日，全球股市大崩盤，道瓊斯美國股票指數一日之內狂瀉23%，有人計算，按照正態分佈和過去若干年的平均波動性，如果美國股市從宇宙存在的那一天開始天天開門交易，這樣的跌法出現的概率仍然是微不足道的。如果我們的宇宙能夠重複存在10億次的話，這樣跌法的可能性不再是微不足道，但是仍然可以忽略不計。不過，「黑色星期一」這種在布萊克－舒爾斯－默頓理論所做的假設下完全不可能發生的奇跡，還是發生了，而且相當經常地發生，其他各種金融價格大幅變動的現象雖然沒有「黑色星期一」那種一瀉千里的氣勢，但是按照正態分佈的假設，這些現象也同樣屬於不太可能出現的範疇。
當理論和實際有矛盾的時候，通常是實際獲勝。我們回過頭來去看布萊克－舒爾斯－默頓理論所需要的假設，我們知道：金融價格不是正態的，它常常有肥尾；金融價格的變化也不連續，常常大幅跳動；金融價格的波動性在中、短期不一定會馬上回到長期的平均值；金融價格在變化的時候上一步和下一步也不一定毫無關係：如果毫無關係，價格變化就是隨機漫步，反之，市場價格有趨勢的時候就說明上一步和下一步有關係。為什麼金融價格不是正態分佈的？原因很複雜，其中重要的一點是影響金融價格的各種因素（包括各種交易人和投資人在內）在平常也許是各不相關的，所以價格變動好像是正態，但是在市場大幅波動的時候，人們驚慌失措，紛紛跟隨別人行動，因此本來不相關的因素常常變得步調一致，正是我們平常所說的「牆倒眾人推」。
布朗運動是因為水裡的分子隨機撞擊花粉而產生的，但是水分子不會在大勢不好的時候步調一致地往大門口沖。可是我們知道投資者會。
所以用正態分佈和布朗運動來描述價格變化是有缺陷的。這種缺陷是量化投資行業所面對的最可怕的敵人之一。
澡盆大的游泳池
長期資本管理的另外一個投資策略是利率掉期套利。
利率掉期合同是交易量巨大的一種櫃面交易產品，屬於金融衍生工具的一種，有很多種變化組合，最簡單的一種是固定利率調浮動利率的掉期。這種掉期合同設有一個面額，合同的甲方定期按照某個浮動的利率（比如LIBOR）支付給乙方利息，乙方則按照合同簽訂的時候雙方同意的固定利率（這叫掉期利率）定期支付給甲方利息，所以我們大致估計，固定利率大概就是將來一段時間浮動利率的平均值。但是將來的浮動利率事先無法知道，所以固定利率是市場對它做出的預測。最先使用掉期合同的是發行了債券的大公司，這些公司發行的債券一般是固定利率的，因為債券傳統上是支付固定利息的。但是，公司的未來盈利卻是變化的，通常經濟好的時候公司的利潤高，但是通常經濟好的時候社會利率水平也比較高，所以公司更願意支付浮動利率。於是，利率掉期這種產品被銀行開發、包裝、銷售和交易，專門為了幫助公司來管理風險。你也可以設想，你的房屋按揭貸款如果目前是浮動利率的話，你可以通過這種利率掉期合同把它變成固定利率，這樣你就知道將來每個月的月供是多少。掉期雖說是銀行為了公司發明的，但是現在除了公司之外，使用這種產品更多的是各類投資人和銀行，銀行之間的交易佔了掉期交易相當大的份額。利率掉期合同的期限一般比較長，可以是10年、20年或者更長，通常交易面額也比較大，所以個人想要交易這種產品並不容易。利率掉期合同通常是銀行按照顧客的要求量體裁衣的產品，每個利率掉期合同可以看成是許多其他的比較簡單的產品的打包。銀行在交易了各種利率掉期合同之後就需要通過使用各種量化模型，把一個個包裝好的利率掉期合同拆開，分成各種簡單產品，然後再分門別類地管理。除了利率掉期合同之外，掉期期權合同也很流行，掉期期權可以理解成掉期合同外加防止賠錢的保險合同，這類產品的標價、交易、分拆、管理自然離不了布萊克－舒爾斯－默頓的量化方法。跟債券一樣，掉期也是個數學性、邏輯性很強的產品，換句話說，量化方法在這裡如魚得水。
掉期合同的固定利率和同樣期限的政府債券利率相比一般要稍微高一些，這叫掉期利差。長期資本管理的獅子般的眼睛盯上了這個利差。這個利差反映的是互相交易掉期合同的大銀行的信用級別和政府信用級別的差別：政府的信用通常要比大銀行的信用稍微高一些，但也高不了多少，所以掉期利差通常都比較小，不過是二三十個基點（一個基點是百分之一個百分點，0.01%。）。可是有時候市場比較緊張，這時候掉期利差就會高一些，這又是一種過激反應，長期資本管理就等著市場上的傻子們犯傻呢：掉期利差高的時候長期資本管理就會殺入市場，購買收入固定利率同時支付浮動利率的掉期合同。利差高，就意味著掉期合同的固定利率相對較高。等到利差回落，長期資本管理再把合同賣出去，坐收利潤（其實真正的套利操作要稍微複雜一些，因為在第一步購買收入固定利率同時支付浮動利率的合同之後，投資頭寸的盈虧將會受到未來利率水平的影響：如果未來利率升高，浮動利率跟著增加，但是固定利率不變，你會賠錢，所以在第一步同時還要對沖掉利率水平的風險，不過這並不難。）。值得一提的是長期資本管理並不是把原來的合同賣出去，而是重新簽訂一份新的合同，新的合同是支付固定利率同時收入浮動利率的掉期合同，其他的條件和舊的合同完全一樣。舊的合同是收固定、付浮動，新的合同是付固定、收浮動，這樣浮動利率的部分互相抵消，固定利率的支付差額就是長期資本管理的利潤。這種簽訂新合同而不是出售舊合同的做法在投資行業很普遍，為什麼要這樣做我們留到下一章再說。本來一筆買賣，一進一出，買賣結束，但是長期資本管理要和兩家銀行同時保留合同，正是因為這個原因，長期資本管理的衍生工具越來越多，1995年，面額為6500億美元，到了1997年，面額達到12500億美元，這是一個天文數字。