最后，你计算每个赌局在给定概率下的期望效用：如果对阿尔克夫下注，期望效用为2；如果对巴拉西亚下注，期望效用为1.8。因为对阿尔克夫下注所获得的主观期望效用大于对巴拉西亚下注时所获得的主观期望效用，你该对阿尔克夫下注。如果这样做，你对赌局的偏好就具有主观期望效用属性。你所指派的效用当然是基数的，且可以进行任何线性变换，但不能进行非线性变换。
下面来介绍一些不同的方法，我将在赛马的情景中进行逆推：我将从假定具备主观期望效用属性开始，然后来看哪些条件支持这一假定。并且，因为论述过程和概率给定的情况很相似，我将不再像当时那样展开详细论述。
基本想法很简单：通过观察选择模式，你能够推测其中的效用和概率。如果选择赌局“如果出太阳就得到鳄梨，否则就得到奶酪”，而不是赌局“如果出太阳就得到熏肉，否则就得到香肠”，这说明你喜欢鳄梨胜过熏肉，因此给鳄梨指派更高的效用。如果你同时还选择赌局“如果出太阳就得到鳄梨，否则就得到熏肉”，而不是赌局“如果下雨就得到鳄梨，否则就得到熏肉”，这说明你觉得出太阳比下雨更有可能，因此给出太阳的情况指派更高的概率。通过足够多的类似的脑力试验，你能够为所有的回报指派效用，为所有的状态指派概率。这样做了之后，你在行动时就会很自然地把这些概率和效用当做已经给定的信息，你的选择也将以取得最大期望效用为目的。
如果你的偏好具有主观期望效用属性，那么你的品位（由效用所代表）和你的信仰（由概率所代表）都是主观的。同样，你的品位和信仰是独立的：你不会因为某事更有可能发生才更看重它，也不会因为更看重某事才觉得它更可能发生。而且，你指派给某个回报的效用并不取决于你得到它时的状态：不管阿尔克夫胜或败，200美元对你来说都是一样的。最后一个要求很严苛。它可能在赛马的例子中成立，但在其他情形下则不成立。
比如，让我们试着考虑欧元的兑换率（以欧元兑美元的价格来表示）。简单起见，我将假定只有两种可能状态：兑换率上升和兑换率下降。你有两种可能的赌局：买入欧元，卖出欧元。如果买入，且兑换率上升，你获得100美元；但如果兑换率下降，你损失100美元。如果卖出，且兑换率上升，你损失100美元；但如果兑换率下降，你获得100美元。问题之所以复杂，是因为当兑换率上升时获得的100美元不同于兑换率下降时获得的100美元：在第一种情况下你要购买的进口货物的成本大于在第二种情况下的成本。更一般地，你指派给某个回报的效用取决于你得到该回报时的状态。
如果像本例这样，我们觉得主观期望效用属性过于苛求，我们可以降低要求，允许效用取决于状态。例如，你不再是给失去100美元的情况指派效用0，给获得100美元的情况指派效用1，而是可以指派效用如下：
将这些效用乘以相应的概率并将结果相加就得到一个赌局的取决于状态的主观期望效用。如果你选择了具有最高的取决于状态的主观期望效用的赌局，那么就可以说你的偏好具有取决于状态的主观期望效用属性。
显然，相比（完全的）主观期望效用属性，这是一种较弱的属性。
要看清什么样的条件可以支持（完全的或者取决于状态的）主观期望效用属性，我们必须允许状态赌局的回报本身就是赌局，正如我们允许概率赌局的回报是赌局一样。然后我们可以用类似于解释混合概率赌局的方式来解释混合状态赌局。这样做反过来又允许我们将替换条件和连续条件应用到状态赌局：回想一下，这两个条件都可以只用混合赌局来表示，而不涉及概率。
一旦我们这样做了之后，我们就可以直接来描述取决于状态的主观期望效用属性：当且仅当偏好满足替换条件和连续条件时（当它们应用于状态赌局时），偏好具备这一属性。
然而，替换条件和连续条件并不保证偏好具备完全的主观期望效用属性。这需要一个新的条件：如果你在某种状态下喜欢一个赌局胜过另一个，那么你应该在所有状态下，都保持这一偏好。这一条件被称为公正条件，相比我们已经遇到的其他条件，公正条件更为严格。假设两种状态分别是下雨和出太阳，一个（简约）赌局确定提供一把雨伞，另一个赌局则确定提供一瓶水。那么你可能会违背公正条件，在下雨状态下更喜欢雨伞，而在出太阳状态下更喜欢水。
尽管较为严格，公正条件和其他两个条件一起提供了我们所寻求的描述：当且仅当偏好满足替换条件、连续条件（当它们应用于状态赌局时）以及公正条件时，偏好具备完全的主观期望效用属性。
图8 不确定条件下的选择示意图：加号代表结合，双箭头代表相等，单箭头代表隐含
本章所论述的各个概念之间的联系如图8所示。
进一步扩展
在状态赌局的背景下有一个和“阿莱悖论”类似的问题叫“埃尔斯伯格悖论”。一个瓮里装着红、白、蓝三色彩球，要从中随机抽出一个。已知三分之一的球是红色的，但是白色球的比例（或者蓝色球的比例）是未知的。首先，你是否喜欢赌局U“如果抽到红色球就得到100美元，否则一无所获”胜过赌局V“如果抽到白色球就得到100美元，否则一无所获”？其次，你是否喜欢赌局X“如果抽到白色球或蓝色球就获得100美元，否则一无所获”胜过赌局Y“如果抽到红色球或蓝色球就得到100美元，否则一无所获”？
停下来想一想。如果你喜欢赌局U胜过V，那么应该同样喜欢Y胜过X。要明白为什么会这样，让我们为100美元指派效用1，为一无所获指派效用0，然后把指派给抽中红球、白球和蓝球的概率分别记做p、q和r（注意这几个主观概率都不一定等于1/3）。现在如果你喜欢U胜过V，那么U的期望效用，也就是p，一定要大于V的期望效用，也就是q。这暗示p+r一定大于q+r。因为p+r是Y的期望效用，而q+r是X的期望效用，所以这反过来意味着，如果你的偏好具备期望效用属性，你喜欢Y胜过X。
但是，在试验中，相当大比例的人声称他们喜欢U胜过V，同时喜欢X胜过Y。这意味着这些人的偏好不具备取决于状态的主观期望效用，或者说，不满足替换条件或连续条件（事实上，是前者）。出现这一现象，看起来原因在于人们偏好概率给定胜过自己去推断概率。对此，你还是应该有你自己的判断。
阿莱悖论涉及概率赌局，而埃尔斯伯格悖论则涉及状态赌局。另外还有第三种悖论，称为“纽科姆悖论”，因哲学家罗伯特·诺齐克（1938——2002）的提问而广为人知，它涉及在不确定性条件下的一般选择。假设你面前有两个箱子，一个打开，另一个关闭。你必须同时选择两者或者只是关上的那个箱子。在打开的箱子里你看到有100美元；并且你被告知存在某个超能生物，它总能正确预测未来。如果它预测到你只选那个关闭的箱子，它就会在里面放入100万美元；否则它就什么也不放。你会选择要两个箱子，还是只选关上的那个？
诺齐克向很多人提了这个问题，他发现“几乎每个人都很清楚该做些什么。困难在于这些人意见明显存在分歧，分成人数大致相当的两半，且很多人认为另一半的人极其愚蠢”。看起来任何只选关闭的箱子的人确实是愚蠢的：那个超级生物可能已经放了或者没有放入100万美元，所以你完全可以同时选择两个箱子（正如诺齐克自己在长篇累牍的分析之后将会做的那样）。但是，你应该作出你自己的回答。［在你准备回答的时候，不妨想想诺贝尔物理学奖得主尼尔斯·波尔（1885——1962）。当他被问到为什么在墙上挂了一块幸运马蹄铁时，据说他这样回答：“并不是因为我相信它；而是有人告诉我，不管人们是否相信，它都能起作用。”］
小结
不确定性条件下的选择涉及从赌局中作出选择，包括概率给定和未定两种情况。
替换条件要求，如果你喜欢第一个赌局胜过第二个，那么对于这两个赌局分别以相同权重和第三个赌局组成的混合赌局，你喜欢第一个混合赌局胜过第二个。
连续条件要求，如果你喜欢第一个赌局胜过第二个，且喜欢第二个胜过第三个，那么必定存在由第一个赌局和第三个赌局组成的某个混合赌局，使得你认为它和第二个赌局无差异。
概率赌局的期望效用由以下方式计算获得：把每个回报乘以相应的概率，再把结果相加。如果你在当且仅当某个赌局具有更高期望效用时，喜欢该赌局胜过另一个，那么你对于概率赌局的偏好就具备期望效用属性。
当且仅当偏好具备期望效用属性的时候，你对于概率赌局的偏好是理性的，也就是说，满足替换条件和连续条件。
一个赌局的取决于状态的主观期望效用由以下方式计算获得：将各个状态下所获得的回报分别乘以与该状态相联系的概率，再把结果相加。如果当且仅当某个赌局具有更高的期望效用时，你喜欢该赌局胜过另一个，那么你对于状态赌局的偏好就具备取决于状态的主观期望效用属性。如果当且仅当某个赌局具有更高的期望效用时，你喜欢该赌局胜过另一个，且指派给回报的效用独立于获得该回报的状态，那么你的偏好就具备（完全的）主观期望效用。
公正条件要求，如果你在某个状态下喜欢某个赌局胜过另一个，那么你在所有状态下都偏好该赌局。
当且仅当偏好满足替换条件和连续条件（当应用于状态赌局时），偏好具备取决于状态的主观期望效用属性；当且仅当偏好在满足替换条件和连续条件的同时还满足公正条件时，偏好具备完全主观期望效用属性。
【注释】
[1] 此处似乎与赌局Y的表述不符。0.5的概率应为一无所获，而不是鳄梨。
第四章赌博与保险
我们现在暂且离开正题，来讨论在赌局中作选择的一个特例，那就是所有的回报都是一定金额的金钱。我将主要在概率给定（而不是未定）的背景下来讨论。但是，根据第三章中的讨论，概率给定的情况也可以在另一个背景下来解释，即用主观概率来代替给定概率。
对待风险的态度
我们可以用最终财富或得失数字两种形式来表达涉及金钱的赌局。例如，假设你的现有财富是5000美元，那么如果某个赌局使你的最终所得变成要么是4000美元，要么是6000美元，就可以表示为你要么获得1000美元，要么损失1000美元。我将根据不同情况，灵活使用这两种表述方式。为了作出区分，我在用得失法表示赌局时，在金额数字前加上加号或减号。
我将假定财富连续变化，这么假定的原因你随后就会明白。我还将允许讨论涉及任何赌局（除了那些可能使你的财富降为负数的赌局），不管这些赌局可能在多大程度上增加你的财富。（在此顺便提一下，这也意味着存在无穷多的回报。）
图9 效用分配方案：该赌局可能使你的财富变为A点或B点，两种变化概率相等；该赌局的期望价值是你在C点的财富；该赌局的确定性对等物是你在D点的财富。这个赌局的风险酬金等于C和D两点之间的距离。
在第三章所作研究的基础上，我们可以为每个可能的回报指派基数效用。如果我们认为你从某个给定水平的财富开始，这就相当于为每个财富水平指派效用，或者说规定一个效用分配方案。比如，你的效用分配方案可能为每个财富水平（以千美元为单位）指派该水平的平方根。举例来说，在这种情况下你将给4000美元指派效用2。（我将把这个分配方案称为平方根分配方案。）一个效用分配方案可以用图表说明，横轴代表你的财富，纵轴代表你的效用。这样的分配方案（事实上是平方根分配方案）如图9所示。
该图具有多个属性。首先，曲线向上倾斜：我有充分理由假定，你喜欢财富越多越好。这正是曲线向上倾斜的原因。其次，曲线是凹的，即连接曲线上任何两点的线段都整体位于曲线之下：我将留到以后再来讨论这一重要属性。再次，曲线是连续的，即没有跳跃。这一属性隐含在曲线内凹的形状中：画一幅带有跳跃的曲线，你就可以在两点间画一条线，这条线不会整体处于曲线之下。
我将用到赌局的两个方面：它的期望价值和确定性对等物。某个赌局的期望价值可以通过下列方法来计算：将每个回报乘以它的概率，然后将所得数字相加。例如，赌局“以概率0.2获得9000美元，以概率0.5获得5000美元，以概率0.3获得1000美元”的期望价值（以千美元为单位）等于：（9×0.2）+（5×0.5）+（1×0.3），即4600美元。［期望价值与期望效用类似。但是，期望价值仅在所有回报都用同一单位（如美元）衡量时才有意义。如果不同回报的单位不同，我们就不能笼统地把它们与概率相乘，再把结果相加。］如果某个赌局的期望价值为0，我把这样的赌局称为“公道的”；如果期望价值为正，则称赌局为“有利的”；若期望价值为负，则称为“不利的”。（“公道的”在这里只用做统计学术语，没有任何伦理含义。）
某个赌局的确定性对等物是你愿意接受用来替代该赌局的金额，或者说，你愿意支付以得到该赌局的金额。更确切地说，确定性对等物指一定数额的金钱，如果能够确定得到这笔钱，你将认为它和该赌局无差异。显而易见，一个赌局有且只有一个确定性对等物。［如果我们不允许财富连续变化，只能以一定数额（如1美元）跳跃式变化，那么情况就会不同：可能你会认为1000美元不如某个赌局，而1001美元又比该赌局好。］
为说明确定性对等物的计算过程，假设你以平方根分配方案来指派效用，让我们试着分析这样一个赌局：如果接受该赌局，你的财富要么增加到9000美元（此时你的效用为3），要么减少到1000美元（此时你的效用为1），两种情况出现的概率相等。该赌局的期望效用为2，确定性对等物就是当你的效用等于期望效用（即等于2）时，你的财富水平（也就是说，等于4000美元）。如上图所示：该赌局的结果是你的财富变为A点或B点；你的期望效用等于你在C点的效用；而确定性对等物等于你在D点的财富。
如果就某个赌局而言，你喜欢在确定性条件下的期望价值胜过该赌局本身，那么我会说，你是风险厌恶的。同样，如果期望价值大于确定性对等物，你也是风险厌恶的。反之，如果你喜欢赌局胜过它的期望价值，或者期望价值小于确定性对等物，你是风险喜好的。期望价值与确定性对等物之间的差额被称为该赌局的风险酬金。对于我们刚才讨论的那个赌局（以同样概率使你的财富可能变为9000美元或1000美元），它的期望价值为5000美元，因此风险酬金就是5000－4000美元，即1000美元。这也反映在上图中：该赌局的期望价值是你在C点的财富；而风险酬金等于C和D两点之间的距离。
下面来介绍一些不同的方法，我将在赛马的情景中进行逆推：我将从假定具备主观期望效用属性开始，然后来看哪些条件支持这一假定。并且，因为论述过程和概率给定的情况很相似，我将不再像当时那样展开详细论述。
基本想法很简单：通过观察选择模式，你能够推测其中的效用和概率。如果选择赌局“如果出太阳就得到鳄梨，否则就得到奶酪”，而不是赌局“如果出太阳就得到熏肉，否则就得到香肠”，这说明你喜欢鳄梨胜过熏肉，因此给鳄梨指派更高的效用。如果你同时还选择赌局“如果出太阳就得到鳄梨，否则就得到熏肉”，而不是赌局“如果下雨就得到鳄梨，否则就得到熏肉”，这说明你觉得出太阳比下雨更有可能，因此给出太阳的情况指派更高的概率。通过足够多的类似的脑力试验，你能够为所有的回报指派效用，为所有的状态指派概率。这样做了之后，你在行动时就会很自然地把这些概率和效用当做已经给定的信息，你的选择也将以取得最大期望效用为目的。
如果你的偏好具有主观期望效用属性，那么你的品位（由效用所代表）和你的信仰（由概率所代表）都是主观的。同样，你的品位和信仰是独立的：你不会因为某事更有可能发生才更看重它，也不会因为更看重某事才觉得它更可能发生。而且，你指派给某个回报的效用并不取决于你得到它时的状态：不管阿尔克夫胜或败，200美元对你来说都是一样的。最后一个要求很严苛。它可能在赛马的例子中成立，但在其他情形下则不成立。
比如，让我们试着考虑欧元的兑换率（以欧元兑美元的价格来表示）。简单起见，我将假定只有两种可能状态：兑换率上升和兑换率下降。你有两种可能的赌局：买入欧元，卖出欧元。如果买入，且兑换率上升，你获得100美元；但如果兑换率下降，你损失100美元。如果卖出，且兑换率上升，你损失100美元；但如果兑换率下降，你获得100美元。问题之所以复杂，是因为当兑换率上升时获得的100美元不同于兑换率下降时获得的100美元：在第一种情况下你要购买的进口货物的成本大于在第二种情况下的成本。更一般地，你指派给某个回报的效用取决于你得到该回报时的状态。
如果像本例这样，我们觉得主观期望效用属性过于苛求，我们可以降低要求，允许效用取决于状态。例如，你不再是给失去100美元的情况指派效用0，给获得100美元的情况指派效用1，而是可以指派效用如下：
将这些效用乘以相应的概率并将结果相加就得到一个赌局的取决于状态的主观期望效用。如果你选择了具有最高的取决于状态的主观期望效用的赌局，那么就可以说你的偏好具有取决于状态的主观期望效用属性。
显然，相比（完全的）主观期望效用属性，这是一种较弱的属性。
要看清什么样的条件可以支持（完全的或者取决于状态的）主观期望效用属性，我们必须允许状态赌局的回报本身就是赌局，正如我们允许概率赌局的回报是赌局一样。然后我们可以用类似于解释混合概率赌局的方式来解释混合状态赌局。这样做反过来又允许我们将替换条件和连续条件应用到状态赌局：回想一下，这两个条件都可以只用混合赌局来表示，而不涉及概率。
一旦我们这样做了之后，我们就可以直接来描述取决于状态的主观期望效用属性：当且仅当偏好满足替换条件和连续条件时（当它们应用于状态赌局时），偏好具备这一属性。
然而，替换条件和连续条件并不保证偏好具备完全的主观期望效用属性。这需要一个新的条件：如果你在某种状态下喜欢一个赌局胜过另一个，那么你应该在所有状态下，都保持这一偏好。这一条件被称为公正条件，相比我们已经遇到的其他条件，公正条件更为严格。假设两种状态分别是下雨和出太阳，一个（简约）赌局确定提供一把雨伞，另一个赌局则确定提供一瓶水。那么你可能会违背公正条件，在下雨状态下更喜欢雨伞，而在出太阳状态下更喜欢水。
尽管较为严格，公正条件和其他两个条件一起提供了我们所寻求的描述：当且仅当偏好满足替换条件、连续条件（当它们应用于状态赌局时）以及公正条件时，偏好具备完全的主观期望效用属性。
图8 不确定条件下的选择示意图：加号代表结合，双箭头代表相等，单箭头代表隐含
本章所论述的各个概念之间的联系如图8所示。
进一步扩展
在状态赌局的背景下有一个和“阿莱悖论”类似的问题叫“埃尔斯伯格悖论”。一个瓮里装着红、白、蓝三色彩球，要从中随机抽出一个。已知三分之一的球是红色的，但是白色球的比例（或者蓝色球的比例）是未知的。首先，你是否喜欢赌局U“如果抽到红色球就得到100美元，否则一无所获”胜过赌局V“如果抽到白色球就得到100美元，否则一无所获”？其次，你是否喜欢赌局X“如果抽到白色球或蓝色球就获得100美元，否则一无所获”胜过赌局Y“如果抽到红色球或蓝色球就得到100美元，否则一无所获”？
停下来想一想。如果你喜欢赌局U胜过V，那么应该同样喜欢Y胜过X。要明白为什么会这样，让我们为100美元指派效用1，为一无所获指派效用0，然后把指派给抽中红球、白球和蓝球的概率分别记做p、q和r（注意这几个主观概率都不一定等于1/3）。现在如果你喜欢U胜过V，那么U的期望效用，也就是p，一定要大于V的期望效用，也就是q。这暗示p+r一定大于q+r。因为p+r是Y的期望效用，而q+r是X的期望效用，所以这反过来意味着，如果你的偏好具备期望效用属性，你喜欢Y胜过X。
但是，在试验中，相当大比例的人声称他们喜欢U胜过V，同时喜欢X胜过Y。这意味着这些人的偏好不具备取决于状态的主观期望效用，或者说，不满足替换条件或连续条件（事实上，是前者）。出现这一现象，看起来原因在于人们偏好概率给定胜过自己去推断概率。对此，你还是应该有你自己的判断。
阿莱悖论涉及概率赌局，而埃尔斯伯格悖论则涉及状态赌局。另外还有第三种悖论，称为“纽科姆悖论”，因哲学家罗伯特·诺齐克（1938——2002）的提问而广为人知，它涉及在不确定性条件下的一般选择。假设你面前有两个箱子，一个打开，另一个关闭。你必须同时选择两者或者只是关上的那个箱子。在打开的箱子里你看到有100美元；并且你被告知存在某个超能生物，它总能正确预测未来。如果它预测到你只选那个关闭的箱子，它就会在里面放入100万美元；否则它就什么也不放。你会选择要两个箱子，还是只选关上的那个？
诺齐克向很多人提了这个问题，他发现“几乎每个人都很清楚该做些什么。困难在于这些人意见明显存在分歧，分成人数大致相当的两半，且很多人认为另一半的人极其愚蠢”。看起来任何只选关闭的箱子的人确实是愚蠢的：那个超级生物可能已经放了或者没有放入100万美元，所以你完全可以同时选择两个箱子（正如诺齐克自己在长篇累牍的分析之后将会做的那样）。但是，你应该作出你自己的回答。［在你准备回答的时候，不妨想想诺贝尔物理学奖得主尼尔斯·波尔（1885——1962）。当他被问到为什么在墙上挂了一块幸运马蹄铁时，据说他这样回答：“并不是因为我相信它；而是有人告诉我，不管人们是否相信，它都能起作用。”］
小结
不确定性条件下的选择涉及从赌局中作出选择，包括概率给定和未定两种情况。
替换条件要求，如果你喜欢第一个赌局胜过第二个，那么对于这两个赌局分别以相同权重和第三个赌局组成的混合赌局，你喜欢第一个混合赌局胜过第二个。
连续条件要求，如果你喜欢第一个赌局胜过第二个，且喜欢第二个胜过第三个，那么必定存在由第一个赌局和第三个赌局组成的某个混合赌局，使得你认为它和第二个赌局无差异。
概率赌局的期望效用由以下方式计算获得：把每个回报乘以相应的概率，再把结果相加。如果你在当且仅当某个赌局具有更高期望效用时，喜欢该赌局胜过另一个，那么你对于概率赌局的偏好就具备期望效用属性。
当且仅当偏好具备期望效用属性的时候，你对于概率赌局的偏好是理性的，也就是说，满足替换条件和连续条件。
一个赌局的取决于状态的主观期望效用由以下方式计算获得：将各个状态下所获得的回报分别乘以与该状态相联系的概率，再把结果相加。如果当且仅当某个赌局具有更高的期望效用时，你喜欢该赌局胜过另一个，那么你对于状态赌局的偏好就具备取决于状态的主观期望效用属性。如果当且仅当某个赌局具有更高的期望效用时，你喜欢该赌局胜过另一个，且指派给回报的效用独立于获得该回报的状态，那么你的偏好就具备（完全的）主观期望效用。
公正条件要求，如果你在某个状态下喜欢某个赌局胜过另一个，那么你在所有状态下都偏好该赌局。
当且仅当偏好满足替换条件和连续条件（当应用于状态赌局时），偏好具备取决于状态的主观期望效用属性；当且仅当偏好在满足替换条件和连续条件的同时还满足公正条件时，偏好具备完全主观期望效用属性。
【注释】
[1] 此处似乎与赌局Y的表述不符。0.5的概率应为一无所获，而不是鳄梨。
第四章赌博与保险
我们现在暂且离开正题，来讨论在赌局中作选择的一个特例，那就是所有的回报都是一定金额的金钱。我将主要在概率给定（而不是未定）的背景下来讨论。但是，根据第三章中的讨论，概率给定的情况也可以在另一个背景下来解释，即用主观概率来代替给定概率。
对待风险的态度
我们可以用最终财富或得失数字两种形式来表达涉及金钱的赌局。例如，假设你的现有财富是5000美元，那么如果某个赌局使你的最终所得变成要么是4000美元，要么是6000美元，就可以表示为你要么获得1000美元，要么损失1000美元。我将根据不同情况，灵活使用这两种表述方式。为了作出区分，我在用得失法表示赌局时，在金额数字前加上加号或减号。
我将假定财富连续变化，这么假定的原因你随后就会明白。我还将允许讨论涉及任何赌局（除了那些可能使你的财富降为负数的赌局），不管这些赌局可能在多大程度上增加你的财富。（在此顺便提一下，这也意味着存在无穷多的回报。）
图9 效用分配方案：该赌局可能使你的财富变为A点或B点，两种变化概率相等；该赌局的期望价值是你在C点的财富；该赌局的确定性对等物是你在D点的财富。这个赌局的风险酬金等于C和D两点之间的距离。
在第三章所作研究的基础上，我们可以为每个可能的回报指派基数效用。如果我们认为你从某个给定水平的财富开始，这就相当于为每个财富水平指派效用，或者说规定一个效用分配方案。比如，你的效用分配方案可能为每个财富水平（以千美元为单位）指派该水平的平方根。举例来说，在这种情况下你将给4000美元指派效用2。（我将把这个分配方案称为平方根分配方案。）一个效用分配方案可以用图表说明，横轴代表你的财富，纵轴代表你的效用。这样的分配方案（事实上是平方根分配方案）如图9所示。
该图具有多个属性。首先，曲线向上倾斜：我有充分理由假定，你喜欢财富越多越好。这正是曲线向上倾斜的原因。其次，曲线是凹的，即连接曲线上任何两点的线段都整体位于曲线之下：我将留到以后再来讨论这一重要属性。再次，曲线是连续的，即没有跳跃。这一属性隐含在曲线内凹的形状中：画一幅带有跳跃的曲线，你就可以在两点间画一条线，这条线不会整体处于曲线之下。
我将用到赌局的两个方面：它的期望价值和确定性对等物。某个赌局的期望价值可以通过下列方法来计算：将每个回报乘以它的概率，然后将所得数字相加。例如，赌局“以概率0.2获得9000美元，以概率0.5获得5000美元，以概率0.3获得1000美元”的期望价值（以千美元为单位）等于：（9×0.2）+（5×0.5）+（1×0.3），即4600美元。［期望价值与期望效用类似。但是，期望价值仅在所有回报都用同一单位（如美元）衡量时才有意义。如果不同回报的单位不同，我们就不能笼统地把它们与概率相乘，再把结果相加。］如果某个赌局的期望价值为0，我把这样的赌局称为“公道的”；如果期望价值为正，则称赌局为“有利的”；若期望价值为负，则称为“不利的”。（“公道的”在这里只用做统计学术语，没有任何伦理含义。）
某个赌局的确定性对等物是你愿意接受用来替代该赌局的金额，或者说，你愿意支付以得到该赌局的金额。更确切地说，确定性对等物指一定数额的金钱，如果能够确定得到这笔钱，你将认为它和该赌局无差异。显而易见，一个赌局有且只有一个确定性对等物。［如果我们不允许财富连续变化，只能以一定数额（如1美元）跳跃式变化，那么情况就会不同：可能你会认为1000美元不如某个赌局，而1001美元又比该赌局好。］
为说明确定性对等物的计算过程，假设你以平方根分配方案来指派效用，让我们试着分析这样一个赌局：如果接受该赌局，你的财富要么增加到9000美元（此时你的效用为3），要么减少到1000美元（此时你的效用为1），两种情况出现的概率相等。该赌局的期望效用为2，确定性对等物就是当你的效用等于期望效用（即等于2）时，你的财富水平（也就是说，等于4000美元）。如上图所示：该赌局的结果是你的财富变为A点或B点；你的期望效用等于你在C点的效用；而确定性对等物等于你在D点的财富。
如果就某个赌局而言，你喜欢在确定性条件下的期望价值胜过该赌局本身，那么我会说，你是风险厌恶的。同样，如果期望价值大于确定性对等物，你也是风险厌恶的。反之，如果你喜欢赌局胜过它的期望价值，或者期望价值小于确定性对等物，你是风险喜好的。期望价值与确定性对等物之间的差额被称为该赌局的风险酬金。对于我们刚才讨论的那个赌局（以同样概率使你的财富可能变为9000美元或1000美元），它的期望价值为5000美元，因此风险酬金就是5000－4000美元，即1000美元。这也反映在上图中：该赌局的期望价值是你在C点的财富；而风险酬金等于C和D两点之间的距离。