替换条件有个直接推论：如果你喜欢100美元胜过一无所有，那么你就会喜欢赌局“以概率0.9获得100美元，其余则一无所有”胜过“以概率0.1获得100美元，其余情况则一无所有”。更一般地，如果你喜欢一个赌局胜过另一个，那么当且仅当你更喜欢的那个赌局在第一个混合赌局中的比重大于它在第二个混合赌局中的比重时，你选择第一个混合赌局。
下面的例子里出现另一类问题。
水果的例子
你喜欢苹果胜过香蕉，喜欢香蕉胜过樱桃（既然你是理性的，当然喜欢苹果胜过樱桃）。但是，你喜欢香蕉胜过每个或得到苹果、或得到讨厌的樱桃的赌局，不管得到后者的概率有多低。
在本例中你的选择有问题：你的偏好出现跳跃。试考虑你对B和赌局X（以概率p得到A，其余情况得到C）的偏好。如果p小于1，不管它多接近1，你选择B；但当p等于1，也就是说当赌局X变成A，你选择X。因此在某一点上你从偏好某一项变成偏好另一项，却没有经过中间无差异的过渡阶段。如下表所示：
如果你的选择平稳变化而不是像这样突然跳跃，可能更容易接受。要明白在实践中这究竟意味着什么，让我们重新解释这三个选项，设A为一百万美元，B为一无所有，C为你的死亡。可以认为存在足够高的概率p，使得你愿意接受这样的赌局：以概率p获得一百万，否则就失去性命。如果这显得不太可能，那就问问你自己是否愿意穿过一条交通繁忙的街道，冒着极其微小的丧命概率，来挣得一百万。典型的答案是愿意。为了避免偏好的跳跃变化，我们要求：如果你喜欢第一个赌局胜过第二个，喜欢第二个胜过第三个，那么必然存在第一个和第三个赌局的某种混合，使得你认为它和第二个赌局无差异。这一要求被称为连续条件，又被称为阿基米德条件，得名于希腊数学家阿基米德（前287——前212）。
（补充说明：我们可能注意到连续条件要求允许概率以连续的方式变化，因为如果概率只以0.1的幅度发生变化，那么很可能出现你喜欢赌局“以概率0.9得到A，其余情况下得到C”胜过选项B，并且喜欢B胜过赌局“以概率0.8得到A，其余情况下得到C”。这一点又反过来要求有无穷多的赌局。）
我们应该再次来检查这两个条件是否一致且独立。为避免重复，我只考虑一致性；独立性可以直接看出来。下面的例子显示了一致性。
坚果的例子
考虑由杏仁、巴西坚果和腰果组成的所有可能赌局，只要在第一个赌局中得到杏仁的概率的两倍加上得到巴西坚果的概率大于在第二个赌局中的相应数字，你就喜欢第一个赌局胜过第二个。
在本例中，只要2p+q大于2r+s，你就喜欢赌局“A wp p，B wp q，其余概率得到C”胜过赌局“A wp r，B wp s，其余概率得到C”。注意这个条件规定了你对于所有涉及A、B、C的赌局的偏好。很容易证明替换条件和连续条件都成立。
因为替换条件和连续条件是一致且独立的，并且看起来至少排除了我已经指出的问题，我会说如果你的偏好满足这两个条件，那么你对相关赌局具有理性偏好。
要概括理性的特点，我们需要用到期望效用的概念。回想一下，我们已经假定赌局中的选择可以由偏好序列来解释，也就是说，是效用最大化的（参见第二章的讨论）。那么既然我们可以给所有的赌局指派效用，我们当然可以给简化赌局（即回报）指派效用。假定我们已经这样做了。那么一个赌局的期望效用可以通过以下方式计算：将每个回报的效用乘以该回报出现的概率，再将所有结果相加。例如，你的效用指派方式如下：
那么赌局“X wp 0.2，Y wp 0.3，Z wp 0.5”的期望效用就是：（1×0.2）+（3×0.3）+（2×0.5），即2.1。
回想一下，我们有多种方式来指派效用：唯一的要求就是更好的回报具有更高效用。为给后面的讨论作个准备，请注意如果我们把所有效用翻倍，那么我们也把任何赌局的期望效用翻倍。如果我们把所有效用加上7，那么我们也把任何赌局的期望效用加上7。例如，如果我们把上例中的效用依次进行这两项变换，那么新的期望效用就是11.2，等于原来的期望效用乘以2，再加上7。但是，如果我们用所有效用的平方来代替它们，那么新的期望效用并非原来数字的平方：新的期望效用等于4.9，而原来的效用平方后等于4.41。
如果有某种效用指派方式，使得我们可以基于赌局的期望效用对它们作出判断，那么问题就会变得很方便。也就是说，当且仅当一个赌局相比另一个具有更高效用时，你更喜欢该赌局。这就意味着，你将喜欢上文提到的那个赌局胜过下面这个新的赌局：
X wp 0.5，Y wp 0.3，Z wp 0.2因为正如我们所说，原来那个赌局的期望效用（2.1），超过了新赌局的期望效用（1.8）。如果效用可以通过这种方式指派，那么由此得到的效用称为基数效用，或者又称为“伯努利效用”，得名于数学家丹尼尔·伯努利（1700——1782）。并且我们称偏好具有期望效用属性。
如果我们可以指派基数效用，那么我们有多种指派方式。假设我们已经采用某种方式指派了基数效用，那么当且仅当赌局X在该效用指派方式下具有更高的期望效用时，赌局X比赌局Y要好。现在我们换种方式来指派效用，指派给每个回报的新的效用数值等于原来的效用乘以2再加7。正如我们已经看到的，这意味着任何一个赌局的新期望效用等于原来的数值乘以2再加7。此时，当且仅当X原来具有更高的期望效用时（也就是当且仅当X好于Y时），X具有更高的新期望效用。因此，当基数效用翻倍并加7时，它们的代表属性保持不变。更一般地，当基数效用以线性方式变换时（也就是说，当它们乘以或除以任何正数，或者加上或减去任何数字），它们的代表属性保持不变。一个常见的线性变换的例子是测量温度的两种方式之间的变换：华氏温度等于摄氏温度乘以1.8再加上32。
然而，基数效用在进行非线性变换时，其代表属性将发生变化。因为对效用进行其他变化无法保证期望效用以同样方式变化。比如，如果效用指派如下：
那么你喜欢Y（也就是说，简化赌局让你以概率1得到Y）胜过另一个赌局（以概率0.5得到X，其余则得到Z）：两个赌局的期望效用分别为3和2.5。但如果这些效用被它们各自的平方数代替，那么新的期望效用分别为9和12.5。这两个数字说明你喜欢后一个赌局胜过Y，但这是错误的。
假设我们以下列方式指派基数效用：回报X得到效用v，而更好的回报Y则得到效用u；显然u一定大于v。如果我们从这两个效用中都减去v，再除以u-v（这应该是个正数），那么我们得到如下基数效用：Y的效用为1，而X的效用为0。这意味着如果我们可以指派基数效用，那么我们可以这样来进行：为某个回报指派效用0，为其他更好的回报指派效用1。
在坚果的例子里，期望效用属性成立。对任意两个赌局，只要在第一个赌局中得到A的概率乘以2再加上得到B的概率大于第二个赌局中的相应数字，你就喜欢第一个赌局胜过第二个。如果我们指派效用如下：
那么赌局“A wp p，B wp q，其余得到C”的期望效用为2p+q，而赌局“A wp r，B wp s，其余得到C”的期望效用为2r+s。那么，因为当且仅当2p+q大于2r+s时，你喜欢第一个赌局胜过第二个，所以当且仅当第一个赌局有更高的期望效用时，你喜欢第一个赌局胜过第二个。换句话说，你的偏好具有期望效用属性。
为了证明期望效用属性并非无关紧要，让我们回到蔬菜的例子。在这个例子中，你喜欢A胜过B，但是喜欢赌局X“以概率0.9得到B，其余情况则得到C”胜过赌局Y“以概率0.9得到A，其余情况得到C”。既然你喜欢A胜过B，我们可以指派A的效用为1，B的效用为0。把指派给C的效用记做u。那么X的期望效用为0.1u，而Y的期望效用为0.9+0.1u。因为你喜欢X胜过Y，所以期望效用属性将要求0.1u大于0.9+0.1u，这是不可能的。
在水果的例子里出现同样情况。你喜欢A胜过B，喜欢B胜过C，但是你喜欢B胜过任何可能给你A或C的赌局。既然你喜欢A胜过C，我们可以指派A的效用为1，C的效用为0。把B的效用记做u。那么，因为你喜欢B胜过赌局“以概率p得到A，其余情况得到C”，其中p小于1，所以期望效用属性要求固定值u（小于1）大于每个可能的p。同样，这是不可能的。
出现下列情况并非巧合：（1）期望效用属性在坚果例子中成立，但在蔬菜和水果例子中都不成立；（2）在蔬菜和水果例子中，替换条件和连续条件至少有一项不成立，但在坚果例子中，两个条件均满足。当两个条件均得到满足的时候（也就是说，当偏好是理性的时候），期望效用属性总是成立。于是我们可以得到一个完整的概述：当且仅当偏好具备期望效用属性时，对于（概率性）赌局的偏好是理性的。
一些扩展
如果把时间纳入考虑，情况就将发生变化。来考虑两个赌局：每一个赌局都会在一年后（从今天开始计算）给你一百万美元，条件是轮盘赌的结果是偶数，否则你就一无所获。但这两个赌局并非完全一致：在第一个赌局里，轮盘是在今天转动的，而在第二个赌局里，轮盘是在一年后转动的。不仅这两个赌局不一样，而且你也不会以同样的方式来加以考虑。典型情况下，你会偏好第一个赌局，因为对未来财富的了解可以帮助你在接下去的一年里更好地规划人生。如果知道自己将要发财，那么你可以动用储蓄，或者预先借钱，一年后从一百万里补上。但是，我们在此所讨论的静态理论无法区分这两个赌局，因此也无法在时间以这样的方式产生影响时，来指导选择。
即使在一个静态的框架里，也不是所有问题都能直接解答。试考虑一个明显的悖论，被称为“阿莱悖论”，得名于诺贝尔经济学奖获得者莫里斯·阿莱（生于1911年）。首先，你会喜欢简化赌局U“以概率1得到240美元”胜过赌局V“以概率0.33得到250美元，以概率0.66得到240美元，另有概率0.01一无所获”吗？其次，你会喜欢赌局X“以概率0.33得到250美元，以概率0.67一无所获”胜过赌局Y“以概率0.34获得240美元，以概率0.66一无所获”吗？
停下来想一想。如果你喜欢赌局U胜过V，那么你也应该喜欢Y胜过X。要弄明白为什么会这样，让我们把得到250美元的效用指派为1，把一无所获的效用指派为0，把指派给240美元的效用记作u。那么，如果你喜欢U胜过V，U的期望效用（即u）必须大于V的期望效用（0.33+0.66u）。这意味着0.34u必须大于0.33。既然0.34u是Y的期望效用，而0.33是X的期望效用，这也就意味着你的偏好具备期望效用属性，你喜欢Y胜过X。
但是，在一次试验中，相当多的人声称他们喜欢U胜过V，并且喜欢X胜过Y。这意味着这些人的偏好并不具备期望效用属性，或者说，不满足替换条件或者连续条件中的某一项（事实上是前者）。原因似乎在于人们对小概率的结果过分关注。（一定程度上这或许解释了为什么人们购买国家彩票。这些彩票提供巨额奖金，但赢取的几率极其微小。）对此你要自己作出决定，记住我在第一章里提过的对于悖论可能产生的种种反应。
基数效用在进行线性变换时保持其代表属性，但在非线性变换时却并非如此。这一事实暗示，效用的差异现在具有某种意义。如果当采用某种效用指派方式时，一对回报之间的效用差异大于另外一对之间的效用差异，那么在采用任何一种效用指派方式时，前一对效用差异总是大于后一对。由此看来，基数效用似乎可以为赞成财富再分配的观点提供支持。处理这个问题需要一个新的框架，其中所有的回报都是一定数额的金钱。相应地，我将把这部分的讨论留到下一章来进行。
状态赌局
到目前为止，概率都是已经给定的。要讨论概率未定的赌局，我们要用到“世界状态”的概念，或者简称为“状态”。状态是对任何与你的选择相关并且你不能确定的因素的详细说明。在两匹马阿尔克夫和巴拉西亚进行比赛的情况下（假定至少有一匹马能完成比赛，并且不出现平局），状态可能是“阿尔克夫获胜”或“巴拉西亚获胜”。正如本例所显示的，状态必须以这样的方式加以说明，即有且仅有一个状态会发生。
图7 阿尔克夫没有获胜：左二为阿尔克夫，骑在马背上的是本书作者
状态赌局是一系列可能得到的回报，每个回报有其相应的出现状态。在上面的赛马例子中可能出现的情况是：“如果阿尔克夫获胜就赢得200美元，如果巴拉西亚获胜就输掉100美元。”我们可以把这个赌局写成：“如果A，+200美元；如果B，－100美元。”
如果阿尔克夫的赔率是2：1（下注1美元可以赢得2美元），我们可以把这个赌局称为“下注100美元赌阿尔克夫获胜”。如果巴拉西亚的赔率是1：2，那么赌局“下注100美元赌巴拉西亚获胜”就是：“如果A，－100美元；如果B，+50美元。”
状态赌局类似于具有多个回报的概率赌局，两者都包括一系列附带条件的回报：区别在于，在状态赌局中回报附带的是状态，而非概率。状态允许我们在概率没有给定时来考虑赌局的选择。这一点很重要。在几乎所有有趣的问题中，概率都是没有给定的：没人告诉你阿尔克夫获胜的概率，你的车被偷的概率，或者股市崩盘的概率。
当概率没有给定的时候，你怎么才能从多个赌局中作出明智选择？一个可行的建议是：（1）你为状态指派主观概率；（2）然后为回报指派效用；（3）然后在给定这些概率的情况下，选择带给你最高主观期望效用的赌局。为了说明这一过程，让我们回到赛马的例子，考虑一下如何在赌局“下注100美元赌阿尔克夫获胜”和赌局“下注100美元赌巴拉西亚获胜”之间进行选择。首先你为状态指派概率：设阿尔克夫获胜的概率为0.4，巴拉西亚获胜的概率为0.6。然后你为回报指派效用。三个可能获得的回报如下：
+200美元（对A下注，且A获胜）+50美元（对B下注，且B获胜）－100美元（下注的马输了）
你对这三个回报指派效用如下：
下面的例子里出现另一类问题。
水果的例子
你喜欢苹果胜过香蕉，喜欢香蕉胜过樱桃（既然你是理性的，当然喜欢苹果胜过樱桃）。但是，你喜欢香蕉胜过每个或得到苹果、或得到讨厌的樱桃的赌局，不管得到后者的概率有多低。
在本例中你的选择有问题：你的偏好出现跳跃。试考虑你对B和赌局X（以概率p得到A，其余情况得到C）的偏好。如果p小于1，不管它多接近1，你选择B；但当p等于1，也就是说当赌局X变成A，你选择X。因此在某一点上你从偏好某一项变成偏好另一项，却没有经过中间无差异的过渡阶段。如下表所示：
如果你的选择平稳变化而不是像这样突然跳跃，可能更容易接受。要明白在实践中这究竟意味着什么，让我们重新解释这三个选项，设A为一百万美元，B为一无所有，C为你的死亡。可以认为存在足够高的概率p，使得你愿意接受这样的赌局：以概率p获得一百万，否则就失去性命。如果这显得不太可能，那就问问你自己是否愿意穿过一条交通繁忙的街道，冒着极其微小的丧命概率，来挣得一百万。典型的答案是愿意。为了避免偏好的跳跃变化，我们要求：如果你喜欢第一个赌局胜过第二个，喜欢第二个胜过第三个，那么必然存在第一个和第三个赌局的某种混合，使得你认为它和第二个赌局无差异。这一要求被称为连续条件，又被称为阿基米德条件，得名于希腊数学家阿基米德（前287——前212）。
（补充说明：我们可能注意到连续条件要求允许概率以连续的方式变化，因为如果概率只以0.1的幅度发生变化，那么很可能出现你喜欢赌局“以概率0.9得到A，其余情况下得到C”胜过选项B，并且喜欢B胜过赌局“以概率0.8得到A，其余情况下得到C”。这一点又反过来要求有无穷多的赌局。）
我们应该再次来检查这两个条件是否一致且独立。为避免重复，我只考虑一致性；独立性可以直接看出来。下面的例子显示了一致性。
坚果的例子
考虑由杏仁、巴西坚果和腰果组成的所有可能赌局，只要在第一个赌局中得到杏仁的概率的两倍加上得到巴西坚果的概率大于在第二个赌局中的相应数字，你就喜欢第一个赌局胜过第二个。
在本例中，只要2p+q大于2r+s，你就喜欢赌局“A wp p，B wp q，其余概率得到C”胜过赌局“A wp r，B wp s，其余概率得到C”。注意这个条件规定了你对于所有涉及A、B、C的赌局的偏好。很容易证明替换条件和连续条件都成立。
因为替换条件和连续条件是一致且独立的，并且看起来至少排除了我已经指出的问题，我会说如果你的偏好满足这两个条件，那么你对相关赌局具有理性偏好。
要概括理性的特点，我们需要用到期望效用的概念。回想一下，我们已经假定赌局中的选择可以由偏好序列来解释，也就是说，是效用最大化的（参见第二章的讨论）。那么既然我们可以给所有的赌局指派效用，我们当然可以给简化赌局（即回报）指派效用。假定我们已经这样做了。那么一个赌局的期望效用可以通过以下方式计算：将每个回报的效用乘以该回报出现的概率，再将所有结果相加。例如，你的效用指派方式如下：
那么赌局“X wp 0.2，Y wp 0.3，Z wp 0.5”的期望效用就是：（1×0.2）+（3×0.3）+（2×0.5），即2.1。
回想一下，我们有多种方式来指派效用：唯一的要求就是更好的回报具有更高效用。为给后面的讨论作个准备，请注意如果我们把所有效用翻倍，那么我们也把任何赌局的期望效用翻倍。如果我们把所有效用加上7，那么我们也把任何赌局的期望效用加上7。例如，如果我们把上例中的效用依次进行这两项变换，那么新的期望效用就是11.2，等于原来的期望效用乘以2，再加上7。但是，如果我们用所有效用的平方来代替它们，那么新的期望效用并非原来数字的平方：新的期望效用等于4.9，而原来的效用平方后等于4.41。
如果有某种效用指派方式，使得我们可以基于赌局的期望效用对它们作出判断，那么问题就会变得很方便。也就是说，当且仅当一个赌局相比另一个具有更高效用时，你更喜欢该赌局。这就意味着，你将喜欢上文提到的那个赌局胜过下面这个新的赌局：
X wp 0.5，Y wp 0.3，Z wp 0.2因为正如我们所说，原来那个赌局的期望效用（2.1），超过了新赌局的期望效用（1.8）。如果效用可以通过这种方式指派，那么由此得到的效用称为基数效用，或者又称为“伯努利效用”，得名于数学家丹尼尔·伯努利（1700——1782）。并且我们称偏好具有期望效用属性。
如果我们可以指派基数效用，那么我们有多种指派方式。假设我们已经采用某种方式指派了基数效用，那么当且仅当赌局X在该效用指派方式下具有更高的期望效用时，赌局X比赌局Y要好。现在我们换种方式来指派效用，指派给每个回报的新的效用数值等于原来的效用乘以2再加7。正如我们已经看到的，这意味着任何一个赌局的新期望效用等于原来的数值乘以2再加7。此时，当且仅当X原来具有更高的期望效用时（也就是当且仅当X好于Y时），X具有更高的新期望效用。因此，当基数效用翻倍并加7时，它们的代表属性保持不变。更一般地，当基数效用以线性方式变换时（也就是说，当它们乘以或除以任何正数，或者加上或减去任何数字），它们的代表属性保持不变。一个常见的线性变换的例子是测量温度的两种方式之间的变换：华氏温度等于摄氏温度乘以1.8再加上32。
然而，基数效用在进行非线性变换时，其代表属性将发生变化。因为对效用进行其他变化无法保证期望效用以同样方式变化。比如，如果效用指派如下：
那么你喜欢Y（也就是说，简化赌局让你以概率1得到Y）胜过另一个赌局（以概率0.5得到X，其余则得到Z）：两个赌局的期望效用分别为3和2.5。但如果这些效用被它们各自的平方数代替，那么新的期望效用分别为9和12.5。这两个数字说明你喜欢后一个赌局胜过Y，但这是错误的。
假设我们以下列方式指派基数效用：回报X得到效用v，而更好的回报Y则得到效用u；显然u一定大于v。如果我们从这两个效用中都减去v，再除以u-v（这应该是个正数），那么我们得到如下基数效用：Y的效用为1，而X的效用为0。这意味着如果我们可以指派基数效用，那么我们可以这样来进行：为某个回报指派效用0，为其他更好的回报指派效用1。
在坚果的例子里，期望效用属性成立。对任意两个赌局，只要在第一个赌局中得到A的概率乘以2再加上得到B的概率大于第二个赌局中的相应数字，你就喜欢第一个赌局胜过第二个。如果我们指派效用如下：
那么赌局“A wp p，B wp q，其余得到C”的期望效用为2p+q，而赌局“A wp r，B wp s，其余得到C”的期望效用为2r+s。那么，因为当且仅当2p+q大于2r+s时，你喜欢第一个赌局胜过第二个，所以当且仅当第一个赌局有更高的期望效用时，你喜欢第一个赌局胜过第二个。换句话说，你的偏好具有期望效用属性。
为了证明期望效用属性并非无关紧要，让我们回到蔬菜的例子。在这个例子中，你喜欢A胜过B，但是喜欢赌局X“以概率0.9得到B，其余情况则得到C”胜过赌局Y“以概率0.9得到A，其余情况得到C”。既然你喜欢A胜过B，我们可以指派A的效用为1，B的效用为0。把指派给C的效用记做u。那么X的期望效用为0.1u，而Y的期望效用为0.9+0.1u。因为你喜欢X胜过Y，所以期望效用属性将要求0.1u大于0.9+0.1u，这是不可能的。
在水果的例子里出现同样情况。你喜欢A胜过B，喜欢B胜过C，但是你喜欢B胜过任何可能给你A或C的赌局。既然你喜欢A胜过C，我们可以指派A的效用为1，C的效用为0。把B的效用记做u。那么，因为你喜欢B胜过赌局“以概率p得到A，其余情况得到C”，其中p小于1，所以期望效用属性要求固定值u（小于1）大于每个可能的p。同样，这是不可能的。
出现下列情况并非巧合：（1）期望效用属性在坚果例子中成立，但在蔬菜和水果例子中都不成立；（2）在蔬菜和水果例子中，替换条件和连续条件至少有一项不成立，但在坚果例子中，两个条件均满足。当两个条件均得到满足的时候（也就是说，当偏好是理性的时候），期望效用属性总是成立。于是我们可以得到一个完整的概述：当且仅当偏好具备期望效用属性时，对于（概率性）赌局的偏好是理性的。
一些扩展
如果把时间纳入考虑，情况就将发生变化。来考虑两个赌局：每一个赌局都会在一年后（从今天开始计算）给你一百万美元，条件是轮盘赌的结果是偶数，否则你就一无所获。但这两个赌局并非完全一致：在第一个赌局里，轮盘是在今天转动的，而在第二个赌局里，轮盘是在一年后转动的。不仅这两个赌局不一样，而且你也不会以同样的方式来加以考虑。典型情况下，你会偏好第一个赌局，因为对未来财富的了解可以帮助你在接下去的一年里更好地规划人生。如果知道自己将要发财，那么你可以动用储蓄，或者预先借钱，一年后从一百万里补上。但是，我们在此所讨论的静态理论无法区分这两个赌局，因此也无法在时间以这样的方式产生影响时，来指导选择。
即使在一个静态的框架里，也不是所有问题都能直接解答。试考虑一个明显的悖论，被称为“阿莱悖论”，得名于诺贝尔经济学奖获得者莫里斯·阿莱（生于1911年）。首先，你会喜欢简化赌局U“以概率1得到240美元”胜过赌局V“以概率0.33得到250美元，以概率0.66得到240美元，另有概率0.01一无所获”吗？其次，你会喜欢赌局X“以概率0.33得到250美元，以概率0.67一无所获”胜过赌局Y“以概率0.34获得240美元，以概率0.66一无所获”吗？
停下来想一想。如果你喜欢赌局U胜过V，那么你也应该喜欢Y胜过X。要弄明白为什么会这样，让我们把得到250美元的效用指派为1，把一无所获的效用指派为0，把指派给240美元的效用记作u。那么，如果你喜欢U胜过V，U的期望效用（即u）必须大于V的期望效用（0.33+0.66u）。这意味着0.34u必须大于0.33。既然0.34u是Y的期望效用，而0.33是X的期望效用，这也就意味着你的偏好具备期望效用属性，你喜欢Y胜过X。
但是，在一次试验中，相当多的人声称他们喜欢U胜过V，并且喜欢X胜过Y。这意味着这些人的偏好并不具备期望效用属性，或者说，不满足替换条件或者连续条件中的某一项（事实上是前者）。原因似乎在于人们对小概率的结果过分关注。（一定程度上这或许解释了为什么人们购买国家彩票。这些彩票提供巨额奖金，但赢取的几率极其微小。）对此你要自己作出决定，记住我在第一章里提过的对于悖论可能产生的种种反应。
基数效用在进行线性变换时保持其代表属性，但在非线性变换时却并非如此。这一事实暗示，效用的差异现在具有某种意义。如果当采用某种效用指派方式时，一对回报之间的效用差异大于另外一对之间的效用差异，那么在采用任何一种效用指派方式时，前一对效用差异总是大于后一对。由此看来，基数效用似乎可以为赞成财富再分配的观点提供支持。处理这个问题需要一个新的框架，其中所有的回报都是一定数额的金钱。相应地，我将把这部分的讨论留到下一章来进行。
状态赌局
到目前为止，概率都是已经给定的。要讨论概率未定的赌局，我们要用到“世界状态”的概念，或者简称为“状态”。状态是对任何与你的选择相关并且你不能确定的因素的详细说明。在两匹马阿尔克夫和巴拉西亚进行比赛的情况下（假定至少有一匹马能完成比赛，并且不出现平局），状态可能是“阿尔克夫获胜”或“巴拉西亚获胜”。正如本例所显示的，状态必须以这样的方式加以说明，即有且仅有一个状态会发生。
图7 阿尔克夫没有获胜：左二为阿尔克夫，骑在马背上的是本书作者
状态赌局是一系列可能得到的回报，每个回报有其相应的出现状态。在上面的赛马例子中可能出现的情况是：“如果阿尔克夫获胜就赢得200美元，如果巴拉西亚获胜就输掉100美元。”我们可以把这个赌局写成：“如果A，+200美元；如果B，－100美元。”
如果阿尔克夫的赔率是2：1（下注1美元可以赢得2美元），我们可以把这个赌局称为“下注100美元赌阿尔克夫获胜”。如果巴拉西亚的赔率是1：2，那么赌局“下注100美元赌巴拉西亚获胜”就是：“如果A，－100美元；如果B，+50美元。”
状态赌局类似于具有多个回报的概率赌局，两者都包括一系列附带条件的回报：区别在于，在状态赌局中回报附带的是状态，而非概率。状态允许我们在概率没有给定时来考虑赌局的选择。这一点很重要。在几乎所有有趣的问题中，概率都是没有给定的：没人告诉你阿尔克夫获胜的概率，你的车被偷的概率，或者股市崩盘的概率。
当概率没有给定的时候，你怎么才能从多个赌局中作出明智选择？一个可行的建议是：（1）你为状态指派主观概率；（2）然后为回报指派效用；（3）然后在给定这些概率的情况下，选择带给你最高主观期望效用的赌局。为了说明这一过程，让我们回到赛马的例子，考虑一下如何在赌局“下注100美元赌阿尔克夫获胜”和赌局“下注100美元赌巴拉西亚获胜”之间进行选择。首先你为状态指派概率：设阿尔克夫获胜的概率为0.4，巴拉西亚获胜的概率为0.6。然后你为回报指派效用。三个可能获得的回报如下：
+200美元（对A下注，且A获胜）+50美元（对B下注，且B获胜）－100美元（下注的马输了）
你对这三个回报指派效用如下：