第六章
民主与独裁
我现在从对你个人选择的讨论转到对群体选择（你是其中一员）的讨论。
情形
一个群体是至少包括三人的任意集合，比如家庭、俱乐部或国家：我将集中讨论由你、我和蒙莫朗西组成的三人旅行团。我们必须集体从包括确定选项的候选菜单中作出选择：我们这个特定的团体想要一起旅行，且必须从飞机、轮船和汽车三种交通工具中作出选择。我将假定我们每个人都是理性的（根据第二章所讨论的理性定义）。这意味着，每个人都对菜单选项有所偏好，并且确实能对选项排序。比如，我们的排序模式可能是：
① 即蒙莫朗西
注意，允许持平的情况：尽管你和我各自只把一个选项列在首位，但蒙莫朗西把每一项都列在首位。
我将考虑群体选择如何反映其成员偏好。成员的个人偏好在决定群体选择时起作用的方式被称为群体的规章，它规定了群体根据其成员的所有可能偏好模式所作出的全部选择。对于规章，我们可以问两类问题：第一，它们是否以可接受的方式将个人偏好结合在一起？第二，它们所规定的选择是否令人满意？
可接受的规章
我将首先来谈论规章以可接受的方式将个人偏好结合在一起究竟意味着什么。也许最为人熟知的规章就是民主制度，又被称为多数法则：如果优先选择某个选项的人数和优先选择其他任何一个选项的人数至少一样多，那么群体就选择该选项。
一个明显的例子就是选举制度中的“简单多数投票制”。如果左派获得40%的投票，中间派和右派各获得30%的选票，那么左派当选。如果只考虑结合个人偏好的方式，多数法则没有任何让人明显不满意的地方（但我们将看到，它存在其他问题）。
但是，其他法则看起来没那么容易接受。试考虑博尔达法则，得名于海军军官兼政治理论家让·查理·德·博尔达（1733——1799）。这一法则规定每个人对完整菜单上的每个选项进行打分，分数等于打分的人认为菜单上比该选项差的选项数目；每个人的得分将被加总，最后群体选择得分最高的选项。
在选举框架下，这一法则被称为（某种形式的）比例代表制。博尔达不顾拿破仑·波拿巴的强烈反对，提出这一法则，希望能以此进行法兰西科学院的选举。要明白为什么拿破仑会如此恼怒，来考虑下面的例子。
博尔达例子
我们选择使用博尔达法则。偏好排序如下：
我们必须在A和C之间作出选择，我们选择A：A得分为3，C得分为2，B得分为1。当我们的偏好排序换成如下方式：
我们必须在A和C之间作出选择，我们选择C：C得分为3，A得分为2，B得分为1。
本例中的问题在于当偏好排序发生变化时，群体在A和C之间的选择发生变化，尽管没有人关于A和C的偏好发生变化：A和C之间的选择取决于我们对于无关选项B的排名。这看来无法让人满意。比如，假设因为暴风雨天气，我们从完整菜单中删去B，那么在博尔达例子的上面两种情况里，A和C之间的选择不同于当B还保留时。（B被删去时，上面两种情况下，最后选择都是A和C：它们各自得分为1。）为避免类似问题，我们可以要求群体关于某两个选项之间的选择只取决于其成员关于这两个选项的个人偏好。同样地，我们可以要求，当某个成员的偏好发生变化但没有影响到这两个选项的排序时，群体关于这两个选项的选择保持不变。这一要求被称为独立条件。
独立条件看起来是构成规章的最低要求之一。即使独立条件成立，还不能说已经万事大吉。
试考虑略显平庸的字母表法则：菜单选项以字母表顺序排列，群体选择在候选列表中排名最高的选项。显然，这一法则满足独立条件。但是，这一法则的问题之一在于它没有对称地对待选项。假定每个人都喜欢U胜过V，且喜欢Y胜过X。那么群体将在U和V之间选择U，但不会在X和Y之间选择Y，尽管每个人都是按照他们对U和V排序的方式对X和Y进行排序。为避免这一问题，我们可以要求，如果每个人对U和V排序的方式与他们对X和Y排序的方式一样，且群体从第一对选项中选择了U，那么也应该从第二对中选择X。这一要求被称为中性条件。中性条件强于独立条件。从定义可以直接看到，中性条件隐含独立条件。并且如我们所见，字母表法则显示，独立条件并不隐含中性条件。
现在我转向另一类潜在问题。字母表法则还有一个更严重的问题，即它不尊重全体一致：群体将从X和Y中选择X，即使每个人都喜欢Y胜过X。如果我们允许个人偏好起作用，那么当一致偏好出现却不受尊重的时候，就显得很奇怪。为避免这一问题，我们可以要求，如果每个人都喜欢某个选项胜过另一个，那么群体将在两个选项中只选第一个。注意，如果哪怕有一个成员认为两个选项是无差异的，我们就不要求第一个被选中，更不要求只选第一个。这一要求被称为一致条件。
这一条件看起来是构成规章的最低要求之一。即使它成立，我们也不能完全满意。试考虑帕累托法则，得名于经济学家威尔弗雷多·帕累托（1848——1923）：如果所有人都偏好某个选项，且不存在其他选项满足所有人偏好，群体将选择该选项。显然，这一法则满足一致条件。要明白这一法则有什么问题，试考虑下面的例子。
帕累托例子
我们选择使用帕累托法则。我们的偏好排序如下：
在此排序方式下，我们复选A和B两个选项。如果我们的偏好排序变为：
此时我们还是复选A和B。
在本例中可能被认为出错的地方在于，群体选择并没有对个人偏好的变化作出积极反应。在第一种偏好模式下，选项A和B持平。在第二种偏好模式下，相对于A，B在我的排序中上升，而你和蒙蒂的排序保持不变，但A依然被选中。为避免这一问题，我们可以要求：（1）存在某种偏好模式，使得每个选项被选中，且（2）在其他人的偏好排序保持不变，而某个成员的偏好排序中一个选项相对于另一个选项位置上升的情况下，如果群体原先单选第一个选项，它继续单选第一个；如果原先复选两个选项，现在它单选第一个。这一要求被称为响应条件。响应条件强于一致条件。显而易见，响应条件隐含一致条件；且如我们所见，帕累托法则说明，一致条件并不隐含响应条件。
我们已经有了涉及个人偏好在群体选择中如何起作用的四个条件：中性条件及其弱化形式独立条件；响应条件及其弱化形式一致条件。我将把中性条件和响应条件称为强条件，把它们的弱化形式独立条件和一致条件称为弱条件。这四个条件在逻辑上是一致的：显而易见，多数法则满足全部四个条件。而且，两个弱条件是独立的，两个强条件也一样。很容易找到某个法则满足独立条件但不满足一致条件，或者另一个法则满足一致条件但不满足独立条件。同样地，很容易找到某个法则满足中性条件但不满足响应条件，或者另一个法则满足响应条件但不满足中性条件。
合理规章
到目前为止，我只讨论了关于规章的第一个问题：它们是否以可接受的方式将个人的偏好结合在一起？我现在来讨论第二个问题：它们列出的选择是否让人满意？我将这样来处理这个问题：我将问，是否它们所作的选择（根据第二章中的定义）是合理的，或者理性的。具体来说，我们是否能概述下列规章的特征：这些规章能满足不同条件，能作出合理的，或者在可能的情况下，理性的选择。
在这么做之前，我将离开主题来简短讨论多数法则（既然它是如此众所周知）：对于某个选项来说，如果将该选项排名最高的人数至少和将其他任何一个选项排名最高的人数一样多，那么群体将选择该选项。如我们所见，多数法则满足强条件。它同时满足另一个要求：人们被对称对待，也就是说，如果两个人交换他们的排序，群体选择将保持不变。这一要求被称为匿名条件。确实，多数法则不仅满足这三个条件，而且它是唯一做到这一点的法则。于是，我们得到一个完整的概述：当且仅当一个规章采用多数法则时，它满足中性条件、响应条件和匿名条件。
这一概述也许是完整的，但是它能吸引别人注意吗？答案很清楚，不能。因为这一法则不仅可能无法作出理性的甚至只是合理的选择，它还可能无法作出任何选择。要明白这一点，来考虑下面的例子。
多数的例子
我们选择使用多数法则。当我们的排序如下时：
没有我们可以选择的选项：我们中有两人把A列在B之上，所以我们不能选B（无论是单选或是和其他选项一起复选）；有两人把B列在C之上，所以我们不能选C；有两人把C列在A之上，所以我们不能选A。
这不是个小问题：试回想第一章中的讨论，不选择任何选项（与选择某个标明“一无所有”或“现状”的选项正相反）是没有意义的。那么，多数法则可能是空洞的。如果我们需要一个能确保有效的法则（更不用说产生理性的，或者哪怕合理的选择），我们必须进一步考察。
我将从规章产生合理选择的要求开始。我们知道如果我们需要群体选择是合理的，那么我们不能同时要求满足强条件和匿名条件。因为唯一满足这些条件的法则是多数法则，而它是不合理的。那么我们必须放宽某些条件。我将首先来看，如果我们用弱条件替换强条件，会有什么结果，然后再考虑如果我们放弃匿名条件会有什么结果。（我甚至都不考虑放弃弱条件的最低要求。）
要弄清如果我们用弱条件替换强条件会有什么结果，让我们回到帕累托法则：如果所有人都偏好某个选项，且不存在其他选项满足所有人偏好，群体将选择该选项。正如我所提到的，这一法则显然满足一致要求。同样，它显然也满足独立条件和匿名条件。但这一法则合理吗？试回想，第二章中曾提到，如果存在某个“至少一样好”关系使得被选中的选项至少和其他选项一样好，那么选择是合理的（如果这一关系具有传递性，选择就是理性的）。在帕累托法则下，其实存在这一关系：如果每个人都偏好第一个，那么该选项好于第二个；如果两个选项中，没有哪个相对另一个是所有人一致偏好的，那么这两个选项无差异。
我们或许可以注意到在本例中这一关系并非传递性的，所以群体选择不是理性的。要明白这一点，回到帕累托例子，在其中（初始）排序如下：
这里我们从A和B两个选项中复选A和B，从B和C两个选项中复选B和C，但只从A和C中单选A。因此，“至少一样好”关系如下：
A和B无差异
B和C无差异
A好于C
显然这不具备传递性。
但是，帕累托法则的确能产生合理选择，并且满足各种条件。其实，反之也成立。我们有了完整的概述：当且仅当产生合理选择的规章采用帕累托法则时，它满足独立条件、一致条件和匿名条件。
要了解如果我们放弃匿名条件但保留强条件会产生什么结果，我将引入“首领”的概念。如果群体总是选择你排名最高的选项，并且只选择你所选的这些选项，除非其他人都将另外一些选项排名最高（在此情况下群体也复选其他人的选择），那么你在该规章下就处于首领位置。具有首领（他必须是唯一的）的规章称为首领制的。下例说明这样一种制度。
首领制例子
我们选择使用首领制，你是我们的首领。我们的偏好排序如下：
当我们必须在A和B之间选择时，我们选A，因为你将A排名最高，而我们其他两人并没有一致将B列在A之上；当我们必须在B和C之间选择时，出于类似原因，我们选B；当我们必须在A和C之间选择时，我们复选A和C，因为你将A排名最高，而我和蒙蒂都将C列在A之上。当我们必须从完整菜单中选择时，我们选择A，因为你将A排名最高，而我和蒙蒂并没有一致将某个选项列为最优。
注意在本例中群体选择是合理的。“至少一样好”关系如下：
A好于B
B好于C
A和C无差异
但是，这一关系不具备传递性，所以群体选择同样不是理性的。总体来说，由首领制法则规定的选择可能是合理的，但不能保证是理性的。
我们现在可以说明，如果我们保留强条件结果将会如何。情况不容乐观：任何产生合理选择且满足中性条件和响应条件的规章必定是首领制的。
如果我们要求群体选择是合理的（这个要求其实是必须的），我们没有太多余地。如果我们想保留匿名条件（以及弱条件），我们只有采用帕累托法则；如果我们想要保留强条件，我们只有采用首领制法则。帕累托法则在它有效的范围内不容置疑，但它只涉及很小范围：除非是在所有人都一致同意的情况下（这不太可能），否则帕累托法则总是从一对选项中同时复选两者，这没有太大帮助。首领制法则却能应对多数情况：它们总是只选择一个选项。但是，如果你不是首领，你愿意在这样的法则下生存吗？
理性规章
我现在来考虑如果我们强化要求，把群体选择是合理的，改为是理性的，会有什么结果。要满足这一强化要求，我们不得不放宽强化条件中的一个或者同时放宽两个。因为唯一满足强条件并产生合理选择的制度（即首领制），无法保证产生理性选择。我将做得彻底，用弱条件来代替两个强条件：留给我们的就是作为可接受规章的绝对最低要求。
要了解在此情况下会有什么结果，我将引入独裁者的概念。在某个规章下，如果群体总是恰好选择你排名最高的那些选项，那么你就是独裁者。有独裁者（他必定是唯一的）的规章称为独裁的。显然，独裁者是某种首领，但一个首领不一定是独裁者。独裁制规章的例子，最明显的莫过于群体选择总是和你的选择一样的情况：因为你是理性的，这一法则也产生理性选择。
我们现在可以来看，如果我们只要求最低的弱条件，会产生什么结果。情况更糟糕：任何产生理性选择，且满足独立条件和一致条件的规章必定是独裁制的。
这一结果被称为“阿罗不可能定理”，得名于诺贝尔经济学奖得主、哲学家肯尼斯·阿罗（生于1921年）。它被称为不可能定理，因为它可以被解释为规章不可能同时具备四个属性：理性、独立性、一致性和非独裁性。这是选择理论最为根本但也最让人烦恼的结果之一。它暗示，所有关于“国家利益”的言论都是空谈（除非众人一致同意，但这种情况不太可能发生。在一致同意的情况下，不可能定理就是多余的）。
不可能定理和本章所阐述的其他概念之间的联系如下图所示：
图15 群体选择示意图：加号表示结合，双箭头表示对等，单箭头表示隐含
因为不可能定理的中心地位，也为了说明选择理论中所使用的这类论证方式，我将给出证明（仅此一次）。如果对此不感兴趣，你完全可以忽略论证过程，跳到这部分的结尾。
民主与独裁
我现在从对你个人选择的讨论转到对群体选择（你是其中一员）的讨论。
情形
一个群体是至少包括三人的任意集合，比如家庭、俱乐部或国家：我将集中讨论由你、我和蒙莫朗西组成的三人旅行团。我们必须集体从包括确定选项的候选菜单中作出选择：我们这个特定的团体想要一起旅行，且必须从飞机、轮船和汽车三种交通工具中作出选择。我将假定我们每个人都是理性的（根据第二章所讨论的理性定义）。这意味着，每个人都对菜单选项有所偏好，并且确实能对选项排序。比如，我们的排序模式可能是：
① 即蒙莫朗西
注意，允许持平的情况：尽管你和我各自只把一个选项列在首位，但蒙莫朗西把每一项都列在首位。
我将考虑群体选择如何反映其成员偏好。成员的个人偏好在决定群体选择时起作用的方式被称为群体的规章，它规定了群体根据其成员的所有可能偏好模式所作出的全部选择。对于规章，我们可以问两类问题：第一，它们是否以可接受的方式将个人偏好结合在一起？第二，它们所规定的选择是否令人满意？
可接受的规章
我将首先来谈论规章以可接受的方式将个人偏好结合在一起究竟意味着什么。也许最为人熟知的规章就是民主制度，又被称为多数法则：如果优先选择某个选项的人数和优先选择其他任何一个选项的人数至少一样多，那么群体就选择该选项。
一个明显的例子就是选举制度中的“简单多数投票制”。如果左派获得40%的投票，中间派和右派各获得30%的选票，那么左派当选。如果只考虑结合个人偏好的方式，多数法则没有任何让人明显不满意的地方（但我们将看到，它存在其他问题）。
但是，其他法则看起来没那么容易接受。试考虑博尔达法则，得名于海军军官兼政治理论家让·查理·德·博尔达（1733——1799）。这一法则规定每个人对完整菜单上的每个选项进行打分，分数等于打分的人认为菜单上比该选项差的选项数目；每个人的得分将被加总，最后群体选择得分最高的选项。
在选举框架下，这一法则被称为（某种形式的）比例代表制。博尔达不顾拿破仑·波拿巴的强烈反对，提出这一法则，希望能以此进行法兰西科学院的选举。要明白为什么拿破仑会如此恼怒，来考虑下面的例子。
博尔达例子
我们选择使用博尔达法则。偏好排序如下：
我们必须在A和C之间作出选择，我们选择A：A得分为3，C得分为2，B得分为1。当我们的偏好排序换成如下方式：
我们必须在A和C之间作出选择，我们选择C：C得分为3，A得分为2，B得分为1。
本例中的问题在于当偏好排序发生变化时，群体在A和C之间的选择发生变化，尽管没有人关于A和C的偏好发生变化：A和C之间的选择取决于我们对于无关选项B的排名。这看来无法让人满意。比如，假设因为暴风雨天气，我们从完整菜单中删去B，那么在博尔达例子的上面两种情况里，A和C之间的选择不同于当B还保留时。（B被删去时，上面两种情况下，最后选择都是A和C：它们各自得分为1。）为避免类似问题，我们可以要求群体关于某两个选项之间的选择只取决于其成员关于这两个选项的个人偏好。同样地，我们可以要求，当某个成员的偏好发生变化但没有影响到这两个选项的排序时，群体关于这两个选项的选择保持不变。这一要求被称为独立条件。
独立条件看起来是构成规章的最低要求之一。即使独立条件成立，还不能说已经万事大吉。
试考虑略显平庸的字母表法则：菜单选项以字母表顺序排列，群体选择在候选列表中排名最高的选项。显然，这一法则满足独立条件。但是，这一法则的问题之一在于它没有对称地对待选项。假定每个人都喜欢U胜过V，且喜欢Y胜过X。那么群体将在U和V之间选择U，但不会在X和Y之间选择Y，尽管每个人都是按照他们对U和V排序的方式对X和Y进行排序。为避免这一问题，我们可以要求，如果每个人对U和V排序的方式与他们对X和Y排序的方式一样，且群体从第一对选项中选择了U，那么也应该从第二对中选择X。这一要求被称为中性条件。中性条件强于独立条件。从定义可以直接看到，中性条件隐含独立条件。并且如我们所见，字母表法则显示，独立条件并不隐含中性条件。
现在我转向另一类潜在问题。字母表法则还有一个更严重的问题，即它不尊重全体一致：群体将从X和Y中选择X，即使每个人都喜欢Y胜过X。如果我们允许个人偏好起作用，那么当一致偏好出现却不受尊重的时候，就显得很奇怪。为避免这一问题，我们可以要求，如果每个人都喜欢某个选项胜过另一个，那么群体将在两个选项中只选第一个。注意，如果哪怕有一个成员认为两个选项是无差异的，我们就不要求第一个被选中，更不要求只选第一个。这一要求被称为一致条件。
这一条件看起来是构成规章的最低要求之一。即使它成立，我们也不能完全满意。试考虑帕累托法则，得名于经济学家威尔弗雷多·帕累托（1848——1923）：如果所有人都偏好某个选项，且不存在其他选项满足所有人偏好，群体将选择该选项。显然，这一法则满足一致条件。要明白这一法则有什么问题，试考虑下面的例子。
帕累托例子
我们选择使用帕累托法则。我们的偏好排序如下：
在此排序方式下，我们复选A和B两个选项。如果我们的偏好排序变为：
此时我们还是复选A和B。
在本例中可能被认为出错的地方在于，群体选择并没有对个人偏好的变化作出积极反应。在第一种偏好模式下，选项A和B持平。在第二种偏好模式下，相对于A，B在我的排序中上升，而你和蒙蒂的排序保持不变，但A依然被选中。为避免这一问题，我们可以要求：（1）存在某种偏好模式，使得每个选项被选中，且（2）在其他人的偏好排序保持不变，而某个成员的偏好排序中一个选项相对于另一个选项位置上升的情况下，如果群体原先单选第一个选项，它继续单选第一个；如果原先复选两个选项，现在它单选第一个。这一要求被称为响应条件。响应条件强于一致条件。显而易见，响应条件隐含一致条件；且如我们所见，帕累托法则说明，一致条件并不隐含响应条件。
我们已经有了涉及个人偏好在群体选择中如何起作用的四个条件：中性条件及其弱化形式独立条件；响应条件及其弱化形式一致条件。我将把中性条件和响应条件称为强条件，把它们的弱化形式独立条件和一致条件称为弱条件。这四个条件在逻辑上是一致的：显而易见，多数法则满足全部四个条件。而且，两个弱条件是独立的，两个强条件也一样。很容易找到某个法则满足独立条件但不满足一致条件，或者另一个法则满足一致条件但不满足独立条件。同样地，很容易找到某个法则满足中性条件但不满足响应条件，或者另一个法则满足响应条件但不满足中性条件。
合理规章
到目前为止，我只讨论了关于规章的第一个问题：它们是否以可接受的方式将个人的偏好结合在一起？我现在来讨论第二个问题：它们列出的选择是否让人满意？我将这样来处理这个问题：我将问，是否它们所作的选择（根据第二章中的定义）是合理的，或者理性的。具体来说，我们是否能概述下列规章的特征：这些规章能满足不同条件，能作出合理的，或者在可能的情况下，理性的选择。
在这么做之前，我将离开主题来简短讨论多数法则（既然它是如此众所周知）：对于某个选项来说，如果将该选项排名最高的人数至少和将其他任何一个选项排名最高的人数一样多，那么群体将选择该选项。如我们所见，多数法则满足强条件。它同时满足另一个要求：人们被对称对待，也就是说，如果两个人交换他们的排序，群体选择将保持不变。这一要求被称为匿名条件。确实，多数法则不仅满足这三个条件，而且它是唯一做到这一点的法则。于是，我们得到一个完整的概述：当且仅当一个规章采用多数法则时，它满足中性条件、响应条件和匿名条件。
这一概述也许是完整的，但是它能吸引别人注意吗？答案很清楚，不能。因为这一法则不仅可能无法作出理性的甚至只是合理的选择，它还可能无法作出任何选择。要明白这一点，来考虑下面的例子。
多数的例子
我们选择使用多数法则。当我们的排序如下时：
没有我们可以选择的选项：我们中有两人把A列在B之上，所以我们不能选B（无论是单选或是和其他选项一起复选）；有两人把B列在C之上，所以我们不能选C；有两人把C列在A之上，所以我们不能选A。
这不是个小问题：试回想第一章中的讨论，不选择任何选项（与选择某个标明“一无所有”或“现状”的选项正相反）是没有意义的。那么，多数法则可能是空洞的。如果我们需要一个能确保有效的法则（更不用说产生理性的，或者哪怕合理的选择），我们必须进一步考察。
我将从规章产生合理选择的要求开始。我们知道如果我们需要群体选择是合理的，那么我们不能同时要求满足强条件和匿名条件。因为唯一满足这些条件的法则是多数法则，而它是不合理的。那么我们必须放宽某些条件。我将首先来看，如果我们用弱条件替换强条件，会有什么结果，然后再考虑如果我们放弃匿名条件会有什么结果。（我甚至都不考虑放弃弱条件的最低要求。）
要弄清如果我们用弱条件替换强条件会有什么结果，让我们回到帕累托法则：如果所有人都偏好某个选项，且不存在其他选项满足所有人偏好，群体将选择该选项。正如我所提到的，这一法则显然满足一致要求。同样，它显然也满足独立条件和匿名条件。但这一法则合理吗？试回想，第二章中曾提到，如果存在某个“至少一样好”关系使得被选中的选项至少和其他选项一样好，那么选择是合理的（如果这一关系具有传递性，选择就是理性的）。在帕累托法则下，其实存在这一关系：如果每个人都偏好第一个，那么该选项好于第二个；如果两个选项中，没有哪个相对另一个是所有人一致偏好的，那么这两个选项无差异。
我们或许可以注意到在本例中这一关系并非传递性的，所以群体选择不是理性的。要明白这一点，回到帕累托例子，在其中（初始）排序如下：
这里我们从A和B两个选项中复选A和B，从B和C两个选项中复选B和C，但只从A和C中单选A。因此，“至少一样好”关系如下：
A和B无差异
B和C无差异
A好于C
显然这不具备传递性。
但是，帕累托法则的确能产生合理选择，并且满足各种条件。其实，反之也成立。我们有了完整的概述：当且仅当产生合理选择的规章采用帕累托法则时，它满足独立条件、一致条件和匿名条件。
要了解如果我们放弃匿名条件但保留强条件会产生什么结果，我将引入“首领”的概念。如果群体总是选择你排名最高的选项，并且只选择你所选的这些选项，除非其他人都将另外一些选项排名最高（在此情况下群体也复选其他人的选择），那么你在该规章下就处于首领位置。具有首领（他必须是唯一的）的规章称为首领制的。下例说明这样一种制度。
首领制例子
我们选择使用首领制，你是我们的首领。我们的偏好排序如下：
当我们必须在A和B之间选择时，我们选A，因为你将A排名最高，而我们其他两人并没有一致将B列在A之上；当我们必须在B和C之间选择时，出于类似原因，我们选B；当我们必须在A和C之间选择时，我们复选A和C，因为你将A排名最高，而我和蒙蒂都将C列在A之上。当我们必须从完整菜单中选择时，我们选择A，因为你将A排名最高，而我和蒙蒂并没有一致将某个选项列为最优。
注意在本例中群体选择是合理的。“至少一样好”关系如下：
A好于B
B好于C
A和C无差异
但是，这一关系不具备传递性，所以群体选择同样不是理性的。总体来说，由首领制法则规定的选择可能是合理的，但不能保证是理性的。
我们现在可以说明，如果我们保留强条件结果将会如何。情况不容乐观：任何产生合理选择且满足中性条件和响应条件的规章必定是首领制的。
如果我们要求群体选择是合理的（这个要求其实是必须的），我们没有太多余地。如果我们想保留匿名条件（以及弱条件），我们只有采用帕累托法则；如果我们想要保留强条件，我们只有采用首领制法则。帕累托法则在它有效的范围内不容置疑，但它只涉及很小范围：除非是在所有人都一致同意的情况下（这不太可能），否则帕累托法则总是从一对选项中同时复选两者，这没有太大帮助。首领制法则却能应对多数情况：它们总是只选择一个选项。但是，如果你不是首领，你愿意在这样的法则下生存吗？
理性规章
我现在来考虑如果我们强化要求，把群体选择是合理的，改为是理性的，会有什么结果。要满足这一强化要求，我们不得不放宽强化条件中的一个或者同时放宽两个。因为唯一满足强条件并产生合理选择的制度（即首领制），无法保证产生理性选择。我将做得彻底，用弱条件来代替两个强条件：留给我们的就是作为可接受规章的绝对最低要求。
要了解在此情况下会有什么结果，我将引入独裁者的概念。在某个规章下，如果群体总是恰好选择你排名最高的那些选项，那么你就是独裁者。有独裁者（他必定是唯一的）的规章称为独裁的。显然，独裁者是某种首领，但一个首领不一定是独裁者。独裁制规章的例子，最明显的莫过于群体选择总是和你的选择一样的情况：因为你是理性的，这一法则也产生理性选择。
我们现在可以来看，如果我们只要求最低的弱条件，会产生什么结果。情况更糟糕：任何产生理性选择，且满足独立条件和一致条件的规章必定是独裁制的。
这一结果被称为“阿罗不可能定理”，得名于诺贝尔经济学奖得主、哲学家肯尼斯·阿罗（生于1921年）。它被称为不可能定理，因为它可以被解释为规章不可能同时具备四个属性：理性、独立性、一致性和非独裁性。这是选择理论最为根本但也最让人烦恼的结果之一。它暗示，所有关于“国家利益”的言论都是空谈（除非众人一致同意，但这种情况不太可能发生。在一致同意的情况下，不可能定理就是多余的）。
不可能定理和本章所阐述的其他概念之间的联系如下图所示：
图15 群体选择示意图：加号表示结合，双箭头表示对等，单箭头表示隐含
因为不可能定理的中心地位，也为了说明选择理论中所使用的这类论证方式，我将给出证明（仅此一次）。如果对此不感兴趣，你完全可以忽略论证过程，跳到这部分的结尾。